Phương trình này cho ta biết điều gì?
Gia tốc của một đoạn nhỏ trên dây đàn violin tỉ lệ với độ dịch chuyển trung bình của các đoạn lân cận.
Tại sao nó lại quan trọng?
Nó tiên đoán rằng dây đàn sẽ chuyển động thành các sóng, và nó tổng quát hóa một cách tự nhiên cho các hệ vật lý khác trong đó có sóng.
Nó đã dẫn tới những gì?
Các bước tiến lớn trong hiểu biết của chúng ta về sóng nước, sóng âm, sóng ánh sáng, dao động đàn hồi,... Các nhà nghiên cứu địa chấn sử dụng một phiên bản đã sửa đổi của nó để rút ra cấu trúc bên trong của Trái Đất thông qua cách nó dao động. Các công ty dầu mỏ sử dụng một phương pháp tưong tự để tìm dầu. Trong Chưong 11 chúng ta sẽ thấy nó tiên đoán thế nào về sự tồn tại của sóng điện từ, dẫn tới sự xuất hiện của radio, tivi, radar, và các phương tiện truyền thông hiện đại.
Chúng ta sống trong thế giới của các sóng. Tai chúng ta phát hiện các sóng nén trong không khí: ta gọi đó là “nghe”. Mắt chúng ta nhận biết các sóng điện từ: ta gọi đó là “nhìn”. Khi một thị trấn hay một thành phố gặp động đất, sự tàn phá ở đây là do các sóng trong phần vỏ rắn của Trái Đất gây ra. Khi một con thuyền dập dềnh lên xuống trên mặt đại dương, nó đang phản ứng lại với sóng nước. Vận động viên lưót sóng sử dụng sóng đại dương để tiêu khiển; máy thu thanh, tivi, và mạng điện thoại di động đều sử dụng sóng điện từ, tương tự như các sóng giúp chúng ta nhìn thấy, nhưng ở những bước sóng khác. Rồi lò vi sóng nữa... chà, cái tên nói lên tất cả rồi, phải không nào?
Với rất nhiều ví dụ thực tế về các sóng có tác động tới đời sống hằng ngày, ngay cả trong nhiều thế kỷ trước, các nhà toán học, những người đã quyết định bước theo khám phá đầy tính sử thi của Newton rằng tự nhiên có các quy luật, không thể không bắt đầu nghĩ tới các sóng. Mặc dù vậy, cái đã thúc đẩy họ bắt đầu lại đến từ nghệ thuật, đặc biệt là âm nhạc. Làm thế nào mà một dây violin lại có thể tạo ra âm thanh? Cái gì đã làm điều đó?
Có một lý do để bắt đầu với đàn violin, một loại lý do hấp dẫn các nhà toán học, mặc dù không phải là việc các chính phủ hay các nhà doanh nghiệp xem xét đầu tư cho các nhà toán học và chờ đợi sẽ nhanh chóng thu về lợi nhuận. Một dây đàn violin có thể được mô hình một cách hợp lý bằng một dây mảnh dài vô hạn, và chuyển động của nó - rõ ràng là nguyên do của âm thanh mà nhạc cụ này tạo ra - có thể được giả định là diễn ra trong một mặt phẳng. Điều này giúp làm cho bài toán trở nên “thấp chiều”, tức là bạn có cơ may giải được nó. Một khi bạn hiểu được ví dụ đơn giản này về sóng, bạn sẽ có cơ hội tốt để chuyển sự hiểu biết ấy, theo từng bước nhỏ, tới các ví dụ hiện thực hơn và thực tiễn hơn về các sóng.
Một lựa chọn khác là húc đầu vào những bài toán có độ phức tạp cao, có thể sẽ hấp dẫn đối với các nhà chính trị và các nhà lãnh đạo nền công nghiệp, nhưng thường dễ bị sa lầy vào các vấn đề phức tạp. Toán học phát triển mạnh là nhờ sự giản dị, và nếu cần thì các nhà toán học sẽ sáng tạo ra chúng để đưa ra một lộ trình đi vào các vấn đề phức tạp hơn. Họ miễn cưỡng nói tới các mô hình này như là “các đồ chơi”, dù đó là những đồ chơi với mục đích rất nghiêm túc. Các mô hình đồ chơi của sóng đã dẫn đến thế giới điện tử học và viễn thông toàn cầu tốc độ cao, máy bay phản lực dân dụng thân rộng, vệ tinh nhân tạo, máy thu thanh, tivi, hệ thống cảnh báo sóng thần... của hôm nay, nhưng chúng ta sẽ không đạt tới bất kỳ thứ gì trong số đó, nếu không có một số nhà toán học bắt tay nghiên cứu cách hoạt động của cây đàn violin, bằng cách sử dụng một mô hình chẳng thực tế một chút nào, ngay cả đối với một cây đàn violin.
Những người theo trường phái Pythagor đã tin rằng thế giới dựa trên các con số, cụ thể ý họ muốn nói rằng đó là toàn bộ các con số hay các tỉ số giữa chúng. Một số niềm tin của họ có xu hướng trở nên thần bí, họ gán cho các con số cụ thể những thuộc tính của con người: 2 cho đàn ông, 3 cho phụ nữ, 5 là tượng trưng cho hôn nhân, v.v. Số 10 rất quan trọng với họ vì nó bằng 1 + 2 + 3 + 4, và họ tin rằng có bốn nguyên tố cơ bản: đất, khí, lửa, nước. Những loại tư biện này gây ngạc nhiên đối với tư duy hiện đại, nó có vẻ hơi điên rồ một chút - phải, chí ít là trong suy nghĩ của tôi - nhưng chúng là hợp lý trong một thời đại mà con người chỉ vừa mới bắt đầu nghiên cứu thế giới xung quanh mình và đang tìm kiếm những hình mẫu quan trọng. Và phải mất một thời gian người ta mới tìm ra hình mẫu nào có ý nghĩa và hình mẫu nào là rác rưởi.
Một trong những thành công lớn của thế giới quan của trường phái Pythagor xuất phát từ âm nhạc. Nhiều câu chuyện được lưu truyền: theo một trong số đó, một lần Pythagor đi qua một lò rèn và ông để ý thấy rằng những cây búa có kích thước khác nhau thì gây ra âm thanh ở những cao độ khác nhau, và những cây búa liên quan với nhau qua các con số đơn giản: kích cỡ của cây búa này gấp đôi cây búa kia chẳng hạn - thì sẽ tạo ra các hòa âm. Mặc dù câu chuyện này nghe thật hấp dẫn, nhưng nếu ai đã từng thử với cây búa thực sẽ thấy ngay rằng thao tác của người thợ rèn chẳng hề tạo ra những âm thanh du dương nào cả, và những cây búa có hình dạng quá ư phức tạp để có thể ngân lên một cách hài hòa. Nhưng ở đây có một chút sự thật: nói chung, các vật nhỏ tạo ra âm thanh ở âm vực cao hơn các vật lớn.
Các câu chuyện có lý lẽ mạnh hơn khi chúng nói về một chuỗi các thí nghiệm mà những người theo trường phái Pythagor thực hiện bằng cách sử dụng một sợi dây được kéo căng, một nhạc cụ thô sơ có tên là canon . Chúng ta biết đến các thí nghiệm này bởi vì Ptolemy đã nhắc đến chúng trong cuốn Hài hòa (Harmonics) của ông xuất bản khoảng năm 150 TCN . Bằng cách chuyển dịch vật đỡ tới các vị trí khác nhau dọc theo dây, những người theo trường phái Pythagor nhận thấy rằng khi hai dây có cùng độ căng và có tỉ lệ chiều dài dây đơn giản, như là 2:1 hay 3:2, thì chúng sẽ tạo ra những nốt hài hòa một cách khác thường. Những tỉ lệ phức tạp hơn sẽ tạo ra những tiếng chói tai và nghe rất khó chịu. Sau này, các nhà khoa học đã đẩy những ý tưởng này đi xa hơn rất nhiều, có lẽ là hơi quá xa: việc nghe thuận tai hay không còn phụ thuộc vào tính chất vật lý của đôi tai, một thứ phức tạp hơn rất nhiều so với tính chất vật lý của một sợi dây riêng lẻ, và nó cũng có một chiều kích văn hóa nữa bởi vì tai của những đứa trẻ đang tuổi lớn được luyện tập qua các âm thanh chung thường xuất hiện trong môi trường sống của chúng. Tôi dự đoán rằng trẻ em ngày nay sẽ đặc biệt nhạy cảm đối với những khác biệt trong tiếng chuông điện thoại di động. Tuy nhiên, có một câu chuyện có cơ sở khoa học hẳn hoi đằng sau những phức tạp này và nhiều chi tiết trong đó xác nhận và giải thích được những khám phá trước đây của những người theo trường phái Pythagor và dụng cụ âm nhạc chỉ gồm một dây của họ.
Các nhạc sĩ đã mô tả các cặp nốt nhạc theo khoảng cách (quãng) giữa chúng, một độ đo số bước ngăn cách chúng trong một âm giai nào đó. Quãng cơ bản nhất là quãng tám, tám phím trắng trên đàn piano. Các nốt cách nhau một quãng tám thì có âm rất giống nhau, trừ một điều là nốt này cao hơn nốt kia, và chúng cực kỳ hài hòa. Trong thực tế, những hòa âm dựa trên quãng tám nghe có vẻ khá du dương. Trên đàn violin, có thể chơi một nốt cao hơn dây buông một quãng tám bằng cách nhấn giữa dây buông đó ép vào cần đàn. Một dây với chiều dài bằng một nửa dây ban đầu sẽ tạo ra một nốt cao hơn nốt của dây ban đầu một quãng tám. Như vậy, quãng tám được gắn với một tỉ số đơn giản 2:1.
Các quãng hòa âm khác cũng gắn với các tỉ số đơn giản. Quãng hòa âm quan trọng nhất của âm nhạc phương Tây là quãng bốn, gắn với tỉ số 4:3, và quãng năm, theo tỉ số 3:2. Những cái tên này sẽ trở nên có nghĩa nếu bạn xét một âm giai gồm các nốt: C D E F G A B C. Với nốt C làm cơ sở, nốt tương ứng với quãng bốn sẽ là F, quãng năm là G, và quãng tám sẽ là C. Nếu ta đánh số các nốt liên tiếp từ 1 ở nốt cơ sở, thì tương ứng chúng sẽ là các nốt thứ 4, thứ 5, thứ 8 tương ứng trên âm giai. Hình học này đặc biệt trực quan trên một nhạc cụ như guitar, gồm các đoạn dây kim loại, “các phím” được gắn vào theo các vị trí thích hợp. Phím tương ứng với quãng bốn ở vị trí bằng một phần tư so với chiều dài dây, với quãng năm là một phần ba, và quãng tám là một nửa. Bạn có thể kiểm tra điều này bằng một thước dây.
Các tỉ lệ này cung cấp một cơ sở lý thuyết cho một âm giai và dẫn tới chính âm giai mà hiện nay được sử dụng trong hầu hết âm nhạc châu Âu. Câu chuyện này rất phức tạp, vậy nên tôi sẽ chỉ trình bày một phiên bản đã được đơn giản hóa. Để thuận tiện hơn sau này, kể từ đây, tôi sẽ viết tỉ số 3:2 thành phân số 3/2. Bắt đầu với một nốt cơ sở và tăng lên quãng năm, ta nhận được các dây với chiều dài:
Thực hiện phép nhân, ta thu được dãy:
Ngoại trừ hai nốt đầu tiên, tất cả các nốt này đều quá cao để vẫn nằm trong quãng tám, nhưng chúng ta có thể hạ thấp chúng xuống một hoặc nhiều quãng tám, bằng cách chia liên tiếp các phân số đó cho 2 cho đến khi kết quả thu được nằm giữa 1 và 2. Ta thu được dãy phân số
Cuối cùng, sắp xếp chúng lại theo thứ tự tăng dần, ta thu được:
Chúng khá tương ứng với các nốt C D E G A B trên đàn piano. Chú ý rằng ở đây không xuất hiện nốt F. Thực tế, với đôi tai của chúng ta, khoảng giữa 81/64 và 3/2 nghe rộng hơn các khoảng khác. Để trám vào khoảng trống này, chúng ta chèn tỉ số 4/3 vào, đó là tỉ số của quãng bốn, rất gần với nốt F trên piano. Cũng rất hữu ích nếu chúng ta hoàn tất âm giai này với nốt C thứ hai, cao hơn một quãng tám, với tỉ số là 2. Bây giờ chúng ta thu được một âm giai dựa hoàn toàn trên các quãng bốn, quãng năm và quãng tám, với các cao độ theo tỉ số:
Vì chiều dài tỉ lệ nghịch với cao độ, nên chúng ta phải lấy nghịch đảo các phân số để thu được các chiều dài tương ứng.
Chúng ta vừa mới giải thích rõ tất cả các phím trắng trên đàn piano, nhưng còn có cả các phím đen nữa. Chúng xuất hiện bởi vì các số liên tiếp trong âm giai mang hai tỉ số khác nhau: 9/8 (gọi là một âm hay ton ) và 256/243 (là bán âm hay bán ton). Chẳng hạn, tỉ số của 81/64 và 9/8 là 9/8 nhưng tỉ số của 4/3 và 81/64 lại là 256/243. Tên gọi ton và bán ton chỉ ra một sự so sánh gần đúng của các quãng. Về trị số mà nói, chúng là 1,125 và 1,05. Số đầu lớn hơn, như vậy một ton tương ứng với sự thay đổi về cao độ nhiều hơn so với một bán ton. Hai bán ton cho tỉ số 1,052, tức là khoảng 1,11; không xa 1,125. Như vậy hai bán ton gần như bằng một ton. Nhưng tôi thừa nhận là không quá gần.
Tiếp tục theo cách này chúng ta có thể chia mỗi ton thành hai quãng, mỗi quãng gần với một bán ton, để thu được âm giai 12 nốt. Điều này có thể được làm theo nhiều cách khác nhau, dẫn tới những kết quả hơi khác nhau một chút. Tuy nhiên khi đã hoàn thành, có một số vấn đề nhỏ nhưng vẫn nghe được khi thay đổi khóa của bản nhạc: các quãng sẽ thay đổi chút ít nếu, chẳng hạn, chúng ta dịch mỗi nốt lên một bán ton. Hiệu ứng này có thể tránh được nếu chúng ta đã chọn một tỉ lệ cụ thể cho một bán ton và sắp đặt sao cho lũy thừa 12 của chúng bằng với 2. Khi đó hai ton sẽ chính xác là một bán ton, 12 bán ton sẽ tạo thành một quãng tám, và bạn có thể thay đổi âm giai bằng cách dịch tất cả các nốt lên hoặc xuống theo một số cố định.
Có một số như thế, cụ thể là căn bậc 12 của 2, xấp xỉ 1,059, và nó dẫn tới cái gọi là “âm giai phân bố đều”. Đây là một sự thỏa hiệp, chẳng hạn, trên âm giai phân bố đều, tỉ lệ 4/3 cho một quãng bốn là 1,0595 = 1,335, thay vì 4/3 =1,333. Một nhạc sĩ được đào tạo bài bản có thể phát hiện ra sự khác biệt này, nhưng thật dễ dàng quen với nó và hầu hết chúng ta đều không nhận thấy.
Từ đó lý thuyết về sự hài hòa trong tự nhiên của trường phái Pythagor thực sự đã được gắn vào cơ sở của âm nhạc phương Tây. Để giải thích tại sao các tỉ số đơn giản lại song hành cùng với sự hài hòa của âm nhạc, chúng ta phải xem xét vật lý của một sợi dây rung động. Tâm lý cảm nhận của con người cũng sẽ đi vào câu chuyện, nhưng chưa phải lúc này.
Điểm then chốt ở đây chính là định luật hai của Newton, liên hệ gia tốc với lực. Bạn cũng phải biết lực tác dụng như thế nào lên một sợi dây có sức căng thay đổi khi sợi dây chuyển động, hơi dãn ra hay co lại. Để làm điều này, ta sử dụng một kết quả mà người cộng sự không mong muốn và hay cãi cọ của Newton là Hooke đã tìm ra năm 1660, được gọi là định luật Hooke: Sự thay đổi chiều dài của một lò xo tỉ lệ với lực tác dụng lên nó. (Thực tế, dây đàn violin cũng là một loại lò xo, nên có thể áp dụng được định luật này). Tuy vậy, vẫn còn một trở ngại. Chúng ta có thể áp dụng các định luật của Newton cho một hệ hữu hạn các khối lượng: ta viết một phương trình cho mỗi khối lượng, và cố gắng hết sức để giải hệ phương trình thu được. Nhưng một dây đàn violin là hệ có khối lượng phân bố liên tục, giống như một đường thẳng gồm vô số các điểm. Do vậy các nhà toán học ở thời kỳ đó nghĩ rằng có thể coi dây đàn là một tập hợp nhiều chất điểm xếp rất gần nhau và liên kết với nhau bởi các lò xo tuân theo định luật Hooke. Họ viết ra các phương trình đã được đơn giản hóa ít nhiều để có thể giải được; rồi họ giải chúng; và cuối cùng họ cho số lượng các chất điểm tăng lên tùy ý, và tìm xem điều gì sẽ xảy ra với nghiệm.
John Bernoulli thực hiện chương trình này vào năm 1727, và kết quả nhận được quả là đẹp phi thường khi xét đến những khó khăn đã được giấu nhẹm đi. Để tránh sự mập mờ trong những mô tả sau đây, hãy tưởng tượng rằng cây đàn violin được đặt nằm ngửa với các dây nằm ngang. Nếu bạn gảy, sợi dây đàn sẽ dao động lên xuống, vuông góc với cây đàn. Bạn hãy ghi nhớ hình ảnh này. Sử dụng chiếc vĩ sẽ khiến cho các dây đàn dao động sang hai bên, và sự tham gia của chiếc vĩ sẽ làm cho mọi chuyện trở nên rối rắm thêm. Trong mô hình toán học này, tất cả những gì chúng ta có là một sợi dây với hai đầu cố định chứ không có chiếc đàn violin; sợi dây dao động lên xuống trong một mặt phẳng. Với cách bố trí như thế, Bernoulli đã khám phá ra rằng hình dạng của sợi dây đang dao động ở một thời điểm bất kỳ là một đường hình sin. Biên độ của dao động - độ cao lớn nhất của đường cong này - cũng biến đổi theo một đường hình sin, nhưng theo thời gian chứ không phải theo không gian. Nghiệm của ông có thể viết dưới dạng sin c t sin x với c là một hằng số nào đó, xem hình 35. Phần không gian sin x cho ta biết hình dáng, nhưng nó thay đổi bởi một thừa số là sin c t ở thời điểm t . Công thức này cho thấy sợi dây dao động lên xuống, lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một dạng dao động. Chu kỳ của dao động, tức thời gian giữa hai lặp lại liên tiếp, là 2𝜋/ c .
Hình 35 Các ảnh chụp tức thời liên tiếp của sợi dây dao động. Hình dạng của đường cong hình sin tại mỗi thời điểm. Biên độ cũng thay đổi theo thời gian dưới dạng hình sin.
Đây là nghiệm đơn giản nhất mà Bernoulli đã nhận được, nhưng còn có các nghiệm khác nữa; tất cả đều là các đường hình sin, tức các “mode” dao động khác nhau, với 1, 2, 3 hay nhiều hơn các sóng dọc theo chiều dài của dây, xem hình 36. Một lần nữa, đường hình sin lại là ảnh chụp nhanh của hình dạng dao động ở một thời điểm bất kỳ, và biên độ lại được nhân với một thừa số phụ thuộc thời gian, đồng thời thừa số này cũng biến thiên theo dạng hình sin. Các công thức tương ứng bây giờ là sin2ct sin2x, sin3ct sin3x, v.v. Các chu kỳ dao động tương ứng là 2n/2c, 2n/3c, v.v; do vậy càng có nhiều sóng thì sợi dây dao động càng nhanh.
Hình 36 Ảnh chụp nhanh các mode 1,2, 3 của sợi dây dao động. Trong mỗi trường hợp sợi dây đều dao động lên xuống, và biên độ của nó cũng biến thiên theo thời gian dưới dạng hình sin.
Hai đầu sợi dây luôn được cố định do cấu tạo của dụng cụ, và cũng là giả thiết của mô hình toán học. Trong tất cả các mode dao động, ngoại trừ mode đầu tiên, còn thì đều có thêm các điểm không dao động trên sợi dây; các điểm này xảy ra ở những chỗ đường cong cắt trục nằm ngang. Các “nút” này chính là nguyên nhân toán học để có các tỉ số đơn giản trong những thí nghiệm của trường phái Pythagor. Chẳng hạn, vì các mode dao động 2 và 3 xảy ra trên cùng một dây, nên khoảng cách giữa các nút liên tiếp trong đường cong mode-2 lớn gấp 3/2 lần khoảng cách tương ứng trong đường cong mode-3. Điều này lý giải vì sao các tỉ số như 3:2 lại xuất hiện một cách tự nhiên từ động lực học của sợi dây dao động, nhưng không giải thích được vì sao các tỉ số như thế lại hài hòa, còn các tỉ số khác thì không. trước khi trả lời câu hỏi đó, tôi sẽ giới thiệu chủ đề chính của chương này: phương trình sóng.
Phương trình sóng xuất hiện từ định luật chuyển động thứ hai của Newton nếu chúng ta áp dụng phương pháp tiếp cận của Bernoulli ở cấp độ các phương trình chứ không phải nghiệm của chúng. Năm 1746, Jean Le Rond d'Alembert đã đi theo quy trình chuẩn này, coi các dây đàn violin dao động như một tập hợp các chất điểm, nhưng thay vì giải các phương trình và tìm kiếm các hình mẫu khi số các chất điểm tiến tới vô hạn, ông lại đi tìm cái đã xảy ra đối với các phương trình. Ông đã rút ra được một phương trình mô tả sự thay đổi hình dạng của sợi dây theo thời gian. Nhưng trước khi chỉ cho bạn thấy phương trình đó thế nào, chúng ta cần biết một ý tưởng mới, gọi là “đạo hàm riêng”.
Hãy tưởng tượng bạn đang ở giữa đại dương, quan sát các sóng với các hình dạng và kích cỡ khác nhau đi qua. Và khi chúng vượt qua, bạn sẽ bị dập dềnh lên xuống. Về mặt vật lý, bạn có thể mô tả môi trường xung quanh bạn đang thay đổi như thế nào theo một số cách khác nhau. Đặc biệt, bạn có thể tập trung vào sự thay đổi theo thời gian hoặc theo không gian. Khi thời gian trôi qua ở vị trí của bạn, tốc độ thay đổi độ cao của bạn đối với thời gian chính là đạo hàm (theo nghĩa giải tích, Chương 3) độ cao của bạn, cũng đối với thời gian. Nhưng nó không mô tả được hình dạng của đại dương ở gần bạn, mà chỉ mô tả được các sóng cao như thế nào khi đi qua chỗ bạn mà thôi. Để mô tả hình dạng, bạn có thể cho “đóng băng thời gian” (một cách hình thức thôi) và tìm xem các sóng cao thấp thế nào: không chỉ ở vị trí của bạn, mà ở cả xung quanh đó nữa. Và nhờ vậy bạn có thể sử dụng giải tích để tính được độ dốc của các con sóng ở chỗ bạn. Bạn đang ở đỉnh hay ở hõm sóng? Nếu bạn ở đó thì độ dốc sẽ bằng 0. Hay bạn đang ở lưng chừng theo chiều xuống của con sóng? Nếu vậy thì độ dốc sẽ khá lớn. Nhờ giải tích, bạn có thể tính được độ dốc bằng cách lấy đạo hàm chiều cao của sóng theo biến không gian.
Nếu một hàm u chỉ phụ thuộc vào một biến, giả sử là x , chúng ta viết đạo hàm dưới dạng d u /d x : “độ biến thiên nhỏ của u chia độ biến thiên nhỏ của x”. Nhưng trong bối cảnh các sóng ở đại dương, hàm số u , chiều cao của con sóng, không chỉ phụ thuộc vào biến không gian x mà còn phụ thuộc cả vào thời gian t nữa. Ở bất kỳ thời điểm cố định nào, chúng ta cũng có thể tính được d u /d x , nó cho ta biết độ dốc địa phương của con sóng. Nhưng thay vì cố định thời gian và để không gian biến thiên, chúng ta cũng có thể cố định biến không gian và để thời gian biến thiên; nó cho ta biết tốc độ dập dềnh của chúng ta. Ta có thể sử dụng ký hiệu d u /d t cho “đạo hàm theo thời gian” của u và giải thích nó như là “độ biến thiên nhỏ của u chia cho độ biến thiên nhỏ của t” . Nhưng ký hiệu này ẩn chứa một điều gì đó mập mờ, độ biến thiên nhỏ của độ cao d u có thể, và thường là, khác nhau trong hai trường hợp. Nếu bạn quên điều này, rất có thể bạn sẽ tính sai. Khi ta lấy đạo hàm theo không gian, chúng ta cho biến không gian biến thiên một chút và xem độ cao thay đổi thế nào; khi chúng ta lấy đạo hàm theo thời gian, chúng ta cho biến thời gian biến thiên một chút và xem độ cao thay đổi thế nào. Không có lý do gì để sự thay đổi theo thời gian lại phải bằng với sự thay đổi theo không gian cả.
Do đó các nhà toán học quyết định phải nhắc nhở chính mình về sự mập mờ này bằng cách thay đổi ký hiệu d thành thứ gì đó không (trực tiếp) khiến họ nghĩ về “sự biến thiên nho nhỏ”. Và họ đã chọn một ký hiệu d cong rất đạt, viết là 𝜕 . Từ đó họ ký hiệu hai đạo hàm trên là 𝜕 u / 𝜕 x và 𝜕 u / 𝜕 t . Bạn có thể cãi rằng đây cũng chẳng phải là một bước tiến gì lớn lao cả, bởi vì nó cũng dễ dàng gây hiểu lầm hai ý nghĩa khác nhau của 𝜕 u . Có hai câu trả lời cho sự phê phán này. Thứ nhất là trong bối cảnh này bạn không nhất thiết phải coi 𝜕 u như một sự biến thiên cụ thể của u . Câu trả lời thứ hai, đó là việc sử dụng ký hiệu mới nhắc nhở bạn không bị nhầm lẫn nữa. Câu trả lời thứ hai thực sự có tác dụng: ngay khi nhìn thấy ỡ, nó sẽ gợi bạn nghĩ tới tốc độ thay đổi đối với nhiều biến khác nhau. Các tốc độ thay đổi này được gọi là đạo hàm riêng , bởi vì về mặt khái niệm bạn chỉ thay đổi một phần trong tập hợp các biến, trong khi phần còn lại được giữ nguyên.
Khi d'Alembert tìm ra phương trình cho sợi dây dao động, ông cũng đã phải đối mặt với tình huống này. Hình dạng của sợi dây phụ thuộc vào không gian - bạn nhìn ở khoảng cách nào dọc theo sợi dây - và vào thời gian. Định luật thứ hai về chuyển động của Newton nói với ông rằng gia tốc của một đoạn nhỏ trên sợi dây tỉ lệ với lực tác dụng lên nó. Gia tốc là đạo hàm (cấp hai) theo thời gian. Nhưng lực gây ra bởi các đoạn lân cận của sợi dây kéo đoạn dây mà chúng ta đang xét, còn từ “lân cận” ở đây có ý nghĩa là độ biến thiên nhỏ của “không gian”. Việc tính toán những lực này đã dẫn ông tới phương trình:
với u ( x , t ) là vị trí theo phương thẳng đứng tại điểm có tọa độ x trên sợi dây và tại thời gian t , và c là hằng số liên quan tới sức căng của sợi dây và tính đàn hồi của nó. Thực tế những tính toán này dễ hơn cách tính của Bernoulli, bởi vì chúng tránh được việc phải đưa vào những đặc điểm cụ thể của các nghiệm riêng 1 .
Công thức đẹp đẽ của d'Alembert chính là phương trình sóng . Giống như định luật hai của Newton, nó là một phương trình vi phân - có chứa đạo hàm (cấp hai) của u . Vì đó là các đạo hàm riêng, nên đây là một phương trình đạo hàm riêng . Đạo hàm cấp hai theo biến không gian mô tả lực tác dụng lên dây, và đạo hàm cấp hai theo thời gian chính là gia tốc. Phương trình sóng tạo ra một tiền lệ: hầu hết các phương trình quan trọng trong vật lý toán cổ điển, và rất nhiều các phương trình hiện đại đều là các phương trình đạo hàm riêng.
Khi d'Alembert viết ra các phương trình sóng này, ông đã sẵn sàng để giải nó. Nhiệm vụ này đã trở nên dễ dàng hơn nhiều bởi vì hóa ra chúng lại là các phương trình tuyến tính . Các phương trình đạo hàm riêng có rất nhiều nghiệm, thực ra là có vô số nghiệm, bởi vì mỗi trạng thái ban đầu cho ta một nghiệm riêng biệt. Chẳng hạn, về mặt lý thuyết, dây đàn violin có thể bị uốn thành bất cứ dạng nào mà bạn muốn trước khi bạn buông nó ra, và phương trình sóng sẽ tiếp nhận nó. “Tuyến tính” ở đây có nghĩa là nếu u ( x ,t) và v ( x , t ) là các nghiệm thì bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào có dạng a u ( x , t ) + b v ( x , t ) với a , b là các hằng số cũng sẽ là nghiệm. Tính chất tuyến tính của phương trình sóng phát sinh từ phép gần đúng mà Bernoulli và d'Alembert phải dùng để tìm được cái mà họ có thể giải được: tất cả các nhiễu động đều được coi là rất nhỏ. Bây giờ lực gây ra bởi sợi dây có thể được lấy gần đúng là một tổ hợp tuyến tính độ dịch chuyển của các chất điểm riêng rẽ. Một phép gần đúng tốt hơn có thể dẫn tới một phương trình đạo hàm riêng phi tuyến và như vậy sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Về lâu dài, những vấn đề phức tạp như thế cũng cần phải được giải quyết, nhưng những người tiên phong đã có đủ chuyện để bận tâm rồi, nên họ bằng lòng làm việc với một phương trình gần đúng nhưng rất đẹp và giới hạn sự chú ý vào các sóng có biên độ nhỏ. Và công việc đã tiến triển rất tốt. Thực tế, phương trình đó cũng có thể dùng được khá tốt trong cả trường hợp các sóng có biên độ lớn, quả là một phần thưởng may mắn.
D'Alembert biết rằng mình đã đi đúng đường, bởi vì ông tìm thấy các nghiệm trong đó một dạng cố định chuyển động dọc theo sợi dây, giống như các sóng vậy 2 . Tốc độ của sóng hóa ra lại chính là hằng số c trong phương trình. Sóng này có thể di chuyển cả sang phải và sang trái, và từ đây nguyên lý chồng chất bước lên sân khấu. D'Alembert đã chứng minh được rằng mỗi nghiệm là một sự chồng chất của hai sóng, một hướng về bên phải và một hướng về bên trái. Hơn nữa, mỗi sóng riêng rẽ có thể có bất kỳ hình dạng nào 3 . Sóng dừng (còn gọi là sóng đứng) được tìm thấy trên sợi dây đàn violin với hai đầu cố định hóa ra lại là tổng hợp của hai sóng có cùng hình dạng, sóng này ngược với sóng kia, một sóng thì đi sang bên trái và sóng (ngược) thì đi về bên phải. Tại hai đầu, hai sóng này triệt tiêu nhau hoàn toàn; đỉnh của sóng này trùng với hõm của sóng kia. Và do vậy chúng tuân theo đúng các điều kiện biên vật lý.
Các nhà toán học giờ đây bối rối vì sự giàu có của mình. Họ có tới hai phương pháp để giải phương trình sóng: một của Bernoulli, dẫn tới nghiệm dạng sin và cos, và một của d'Alembert dẫn tới các sóng với bất kỳ hình dạng nào. Thoạt tiên nghe có vẻ như nghiệm của d'Alembert tổng quát hơn: sin và cos là các hàm số, nhưng hầu hết các hàm số không có dạng sin và cos. Tuy nhiên, phương trình sóng là tuyến tính, do vậy bạn có thể tổ hợp các nghiệm dạng Bernoulli bằng cách nhân chúng với các hằng số và cộng lại. Để đơn giản, chỉ xét ảnh chụp nhanh ở một thời điểm cố định, bỏ qua sự phụ thuộc về thời gian. Chẳng hạn, hình 37 cho thấy đồ thị của hàm 5sin x + 4sin 2 x - 2cos 6 x . Nó có dạng khá bất thường, và uốn lượn rất nhiều nhưng vẫn trơn và gợn sóng.
Hình 37 Tổ hợp điển hình của các hàm sin và cos với biên độ và tần số khác nhau.
Điều làm nhức nhối những nhà toán học thận trọng là vài hàm số có vẻ như rất xù xì, gai góc, và bạn không thể thu được các hàm này từ sự tổ hợp các hàm sin và cos. Đúng thế, bạn không thu được chúng nếu bạn sử dụng một số hữu hạn các số hạng - và điều đó đã gợi ý một lối thoát. Một chuỗi vô hạn hội tụ của các hàm sin và cos (tức chuỗi vô hạn mà tổng của nó có nghĩa) cũng thỏa mãn phương trình sóng. Như vậy, phải chăng các hàm ziczac cũng thỏa mãn như các hàm trơn? Các nhà toán học hàng đầu đã tranh luận về câu hỏi này và đạt đến một bước quan trọng khi chính vấn đề này đã xuất hiện trong lý thuyết về nhiệt. Các bài toán về dòng nhiệt có liên quan một cách tự nhiên với các hàm số không liên tục với các bước nhảy đột ngột còn tồi tệ hơn cả các hàm ziczac ở trên. Tôi sẽ bàn về câu chuyện này trong Chương 9, nhưng kết quả là hầu hết các dạng “hợp lý” của sóng đều có thể biểu diễn bởi các chuỗi vô hạn của các hàm sin và cos, do vậy bạn có thể lấy các tổ hợp hữu hạn của sin và cos để biểu diễn gần đúng các dạng sóng với độ chính xác tùy ý.
Các hàm số sin và cos đã giải thích được tại sao các tỉ số hài hòa kia lại có ấn tượng mạnh như thế đối với những người thuộc trường phái Pythagor. Các sóng đặc biệt đó rất quan trọng trong lý thuyết âm, bởi vì chúng biểu diễn các ton “thuần khiết” - tức các nốt đơn trên một nhạc cụ được coi là lý tưởng. Nhưng bất kỳ một nhạc cụ thực nào cũng phát ra một hỗn hợp của các nốt “tinh khiết”. Nếu bạn gảy một dây đàn violin, nốt chính mà bạn nghe thấy sẽ là một sóng dạng sin x bị chồng chất thêm một chút sóng dạng sin 2 x , có thể là cả sin 3 x và v.v. Nốt chính ở đây được gọi là nốt cơ bản, và các nốt còn lại là các họa âm. Con số đứng trước biến x gọi là số sóng. Các tính toán của Bernoulli nói với chúng ta rằng, số sóng tỉ lệ với tần số của sóng: đối với một sóng hình sin cụ thể, tần số là số lần rung của sợi dây trong một đơn vị thời gian của nốt cơ bản.
Đặc biệt, sin 2 x có tần số gấp đôi tần số của sin x . Điều này nghĩa là gì? Tức là nốt ấy cao hơn một quãng tám . Đây là nốt nghe hài hòa nhất nếu được chơi cùng với nốt cơ bản. Nếu bạn nhìn dạng của sợi dây ở mode dao động thứ hai (sin 2 x ) trong hình 36, bạn sẽ thấy rằng nó cắt trục ngang ở trung điểm cũng như ở hai đầu. Ở điểm đó, được gọi là nút, nó vẫn còn đứng yên. Nếu bạn đặt ngón tay mình lên đó, hai nửa của sợi dây vẫn có thể dao động theo dạng sin 2 x , chứ không phải ở dạng sin x . Điều này giải thích phát hiện của trường phái Pythagor rằng sợi dây có độ dài một nửa sẽ tạo ra một nốt cao hơn một quãng tám. Các tỉ số tối giản khác mà họ đã khám phá cũng được giải thích tương tự: tất cả chúng đều gắn với các đường cong hình sin mà tần số của chúng có tỉ số như thế, và những đường cong ấy gần như khóp với nhau trên một sợi dây chiều dài không đổi và có hai đầu cố định.
Tại sao những tỉ số này lại tạo nên sự hài hòa? Có thể lý giải một phần rằng các sóng hình sin với các tần số không phải là các tỉ số đơn giản gây ra một hiện tượng gọi là “phách” khi chúng chồng chất với nhau. Chẳng hạn một tỉ số như 11:23 tương ứng với sin 11 x + sin 23 x , như trong hình 38, với rất nhiều các thay đổi đột ngột trong hình dạng. Một phần khác, đó là tai chúng ta đáp ứng các âm thanh tới theo cách cũng gần giống như sợi dây đàn violin. Tai chúng ta cũng rung. Khi hai nốt gõ lên, âm thanh tương ứng cũng giống như tiếng ồn vo ve, nghe lớn hơn và mềm hơn, lặp đi lặp lại. Như vậy, nó nghe không thể hài hòa được. Tuy nhiên, còn phần thứ ba của lời giải thích nữa: tai của trẻ con trở nên hòa hợp với âm thanh mà nó nghe thường xuyên. Có nhiều những dây thần kinh liên kết giữa não và tai hơn những vị trí khác. Và do vậy, bộ não điều chỉnh sự hưởng ứng của đôi tai với các âm thanh tới. Nói cách khác, những âm thanh mà chúng ta coi là hài hòa còn có chiều kích văn hóa nữa. Nhưng vì các tỉ số đơn giản nhất là hài hòa một cách tự nhiên, nên hầu hết các nền văn hóa đều sử dụng chúng.
Hình 38 Phách.
Các nhà toán học rút ra phương trình sóng lần đầu tiên trong một thiết đặt đơn giản nhất mà họ có thể nghĩ tới: một sợi dây căng dao động, tức là một hệ một chiều. Các ứng dụng thực tiễn đòi hỏi phải có một lý thuyết tổng quát hơn, bằng cách dựng mô hình các sóng trong hai hoặc ba chiều. Ngay cả trong âm nhạc, một cái trống cũng đòi hỏi mô hình hai chiều để mô tả những hình mẫu dao động của hai màng trống. Vấn đề tương tự cũng xuất hiện cho sóng nước ở bề mặt đại dương. Khi xảy ra động đất, cả Trái Đất rung lên như một cái chuông, mà hành tinh của chúng ta là ba chiều. Nhiều lĩnh vực khác của vật lý bao gồm các mô hình có số chiều là hai hoặc ba. Mở rộng phương trình sóng cho số chiều cao hơn hóa ra lại rất đơn giản; tất cả những điều bạn phải làm là thực hiện lại các tính toán đã được áp dụng cho sợi dây đàn violin. Khi đã học được cách chơi trong thiết đặt đơn giản đó, thì việc chơi với một thiết đặt thực tế hơn sẽ không mấy khó khăn.
Chẳng hạn trong không gian ba chiều, chúng ta sử dụng ba tọa độ không gian ( x , y , z ) và tọa độ thời gian t . Sóng được mô tả là một hàm số u phụ thuộc vào bốn tọa độ này. Chẳng hạn, hàm này có thể là hàm mô tả áp lực trong một khối khí khi sóng âm đi qua nó. Đưa ra các giả thiết y hệt như d'Alembert đã làm, đặc biệt là giả thiết biên độ các nhiễu loạn là rất nhỏ, với phương pháp tiếp cận tương tự, ta nhận được phương trình cũng rất đẹp sau:
Tổng trong ngoặc được gọi là Laplacian, và nó tương ứng với sự chênh lệch trung bình giữa giá trị của u ở điểm đang xét và lân cận của điểm đó. Biểu diễn này xuất hiện thường xuyên trong vật lý toán tới mức có một ký hiệu đặc biệt dành riêng cho nó: ∇ 2 u . Để nhận được Laplacian cho trường hợp hai chiều, chúng ta chỉ cần bỏ đi số hạng có liên quan tới z , dẫn tới phương trình sóng hai chiều cần tìm.
Tính mới lạ trong số chiều cao hơn là ở chỗ: hình dạng mà trong đó các sóng nảy sinh, gọi là miền xác định của phương trình, có thể rất phức tạp. Trong trường hợp một chiều, hình dạng kết nối duy nhất đó là một khoảng, một đoạn của đường thẳng. Trong trường hợp hai chiều, nó có thể là hình bất kỳ mà bạn có thể vẽ trong mặt phẳng, và trong trường hợp ba chiều, là bất kỳ hình nào trong không gian. Bạn có thể mô hình hóa một cái trống vuông, một cái trống hình chữ nhật, hình tròn 4 , hay cái trống có dạng của một con mèo. Đối với động đất, bạn có thể chọn miền hình cầu, hay chính xác hơn, một hình ellipsoid hơi dẹt ở hai cực. Nếu bạn đang thiết kế một chiếc ôtô và muốn loại bỏ những dao động không mong muốn, miền xác định cho phương trình của bạn phải có dạng một cái xe ôtô, hay bất kỳ một phần nào của xe mà các kỹ sư muốn tập trung vào.
Hình 39 Trái : Một ảnh chụp nhanh của trống hình chữ nhật dao động với số sóng bằng 2 và 3. Phải : Ảnh chụp nhanh mode 1 của một trống tròn.
Đối với bất kỳ sự chọn lựa hình dạng nào của miền xác định, có những hàm tương tự như các hàm sin và cos của Bernoulli: hình mẫu đơn giản nhất của dao động. Các hình mẫu này được gọi là các mode, hay các mode chuẩn, nếu bạn muốn làm cho những điều bạn đang nói trở nên tuyệt đối rõ ràng. Ta có thể thu được tất cả các sóng khác bằng cách chồng chất các mode chuẩn, và sử dụng các chuỗi vô hạn một lần nữa nếu cần thiết. Tần số của các mode chuẩn biểu diễn tần số dao động tự nhiên của miền xác định của phương trình. Nếu miền xác định là hình chữ nhật, thì đó là các hàm số lượng giác có dạng sin m x cos n y , với m , n là các số nguyên, cho ta hình dạng sóng như trong hình 39 ( trái ). Nếu đó là một hình tròn, chúng được xác định bởi các hàm mới có tên là các hàm Bessel, với những hình dạng thú vị hơn, hình 39 ( phải ). Những kết quả toán học này không chỉ áp dụng cho trống mà còn cho cả sóng nước, sóng âm, sóng điện từ như ánh sáng, chẳng hạn (Chương 11), thậm chí là các sóng lượng tử nữa (Chương 14). Nó là cơ bản đối với tất cả các lĩnh vực trên. Laplacian cũng xuất hiện trong các phương trình mô tả các hiện tượng vật lý khác; đặc biệt là điện trường, từ trường và trường hấp dẫn. Thủ thuật ưa thích của các nhà toán học là bắt đầu với một vấn đề “chơi chơi”, một vấn đề đơn giản đến nỗi không thể có ý nghĩa thực tiễn, nhưng hóa ra lại mang đến những kết quả rất tốt đối với các sóng.
Đó là một lý do giải thích tại sao sẽ rất dại dột nếu đánh giá một ý tưởng toán học chỉ thông qua bối cảnh ban đầu khi nó xuất hiện. Việc mô hình hóa một sợi dây đàn violin có vẻ như vô nghĩa khi bạn lại muốn hiểu về động đất. Nhưng nếu bạn nhảy ngay vào chỗ nước sâu, và cố gắng đương đầu với tất cả những vấn đề rối rắm của một trận động đất thực sự, bạn sẽ bị chết chìm. Bạn nên bắt đầu chèo ở chỗ nước nông và lấy thêm tự tin để bơi một ít quãng trong hồ. Sau đó bạn mới có thể sẵn sàng để dùng ván nhảy cao được.
Phương trình sóng là một thành công ngoạn mục, và trong một vài lĩnh vực của vật lý, nó mô tả thực tại một cách khá chính xác. Tuy vậy, để dẫn ra nó đòi hỏi phải có một số giả thiết đơn giản hóa. Khi những giả thiết này không sát thực tế, chính những ý tưởng vật lý có thể được thay đổi để phù hợp với bối cảnh, dẫn tới một vài phiên bản khác nhau của phương trình sóng.
Động đất là một ví dụ điển hình. Ở đây, vấn đề chính không phải là giả thiết của d'Alembert cho rằng biên độ của sóng là nhỏ, mà là những thay đổi trong các tính chất vật lý của miền xác định. Những tính chất này có thể có ảnh hưởng lớn tới sóng địa chấn, tức những dao động truyền xuyên qua Trái Đất. Bằng cách tìm hiểu những ảnh hưởng này, chúng ta có thể nhìn sâu hơn vào hành tinh của chúng ta và xem cấu tạo của nó thế nào.
Có hai kiểu sóng địa chấn: sóng nén và sóng biến dạng trượt, thường được viết tắt là sóng P và sóng S. (Còn có nhiều sóng khác nữa, đây chỉ là một giải thích đơn giản hóa, đề cập đến một vài tính chất cơ bản mà thôi). Cả hai sóng này đều có thể xuất hiện trong môi trường rắn, nhưng sóng S không tồn tại trong môi trường lỏng. Các sóng P là sóng nén, tương tự với sóng âm trong không khí, và những thay đổi về áp suất diễn ra dọc theo phương truyền sóng. Các sóng này gọi là sóng dọc. Còn sóng S là sóng ngang, phương dao động vuông góc với phương truyền sóng, giống như sóng trên dây đàn violin. Nó khiến các khối rắn biến dạng trượt, giống như một bộ bài bị đẩy về một bên, khiến cho các lá bài trượt dọc theo nhau. Chất lỏng thì không hành xử như một bộ bài.
Khi xảy ra động đất, nó phát ra cả hai loại sóng nói trên. Sóng P truyền nhanh hơn, nên một nhà địa chấn học ở đâu đó trên bề mặt Trái Đất sẽ quan sát được chúng đầu tiên. Sau đó sóng S chậm hơn mới truyền đến. Năm 1906, nhà địa chất học người Anh, Richard Oldham lợi dụng sự khác biệt này đã có một khám phá quan trọng về phần bên trong hành tinh của chúng ta. Nói một cách nôm na, Trái Đất có một lõi sắt, bao quanh bởi lớp vỏ đá (manti), và các lục địa trôi nổi ở trên lớp vỏ manti đó. Oldham gợi ý rằng lớp bên ngoài của lõi phải là chất lỏng. Nếu vậy, sóng S không thể đi qua lớp đó, nhưng sóng P thì có thể. Như vậy có một kiểu bóng của sóng S, và bạn có thể tìm ra nó ở đâu bằng cách quan sát các tín hiệu thu được từ động đất. Nhà toán học Anh Harold Jeffreys đã phân loại chi tiết hơn vào năm 1926, và xác nhận rằng gợi ý của Oldham là đúng đắn.
Nếu trận động đất đủ mạnh, nó có thể khiến cả hành tinh dao động theo một trong các mode chuẩn của nó - các hàm tương tự cho Trái Đất của hàm sin và cos cho đàn violin. Cả hành tinh sẽ rung lên như một quả chuông, theo nghĩa đen, nếu chúng ta chỉ nghe các tần số rất thấp có liên quan. Những dụng cụ đủ nhạy để ghi lại các mode này đã xuất hiện vào những năm 1960, và chúng đã được sử dụng để quan sát hai trận động đất mạnh nhất còn được ghi lại một cách khoa học. Đó là trận động đất ở Chile năm 1960 (độ lớn 9,5) và ở Alaska năm 1964 (độ lớn 9,2). Trận động đất đầu tiên làm thiệt mạng 5000 người, trận thứ hai là 130, do nó xảy ra ở một vùng hẻo lánh. Cả hai đều gây ra sóng thần và làm thiệt hại hết sức nặng nề. Cả hai đều cho ta cái nhìn chưa từng có vào sâu bên trong lòng Trái Đất, do đã kích thích được những mode dao động cơ bản của Trái Đất.
Những phiên bản phức tạp của phương trình sóng đã mang tới cho các nhà địa chấn học khả năng nhìn thấu những gì xảy ra dưới chân chúng ta hàng trăm kilomet. Họ có thể lập bản đồ các mảng kiến tạo trượt lên nhau của Trái Đất, mảng này trượt lên mảng kia, còn gọi là sự hút chìm. Sự hút chìm là nguyên nhân của động đất, đặc biệt là động đất do đứt gãy nghịch chờm giống như hai trận động đất vừa kể trên. Nó cũng tạo ra các dãy núi dọc theo bờ các lục địa, chẳng hạn như dãy Andes, và cả các núi lửa, nơi các mảng trượt xuống quá sâu bắt đầu tan chảy và magma tràn lên bề mặt. Một khám phá gần đây cho thấy một mảng không nhất thiết bị hút chìm toàn bộ, mà có thể bị nứt gãy thành các phiến khổng lồ, chìm xuống lớp manti ở các độ sâu khác nhau.
Phần thưởng lớn nhất trong lĩnh vực này đó là tìm ra cách đáng tin cậy để dự báo động đất và sự phun trào của núi lửa. Đây là những điều khó nắm bắt vì những điều kiện gây ra những hiện tượng như thế là sự kết hợp rối rắm của rất nhiều thành tố ở các địa điểm khác nhau. Tuy nhiên, đã có một số tiến bộ, và phiên bản phương trình sóng của các nhà địa chấn đã làm nền cho nhiều phương pháp đang được điều tra nghiên cứu.
Chính những phương trình này đã có nhiều ứng dụng mang tính thương mại hơn. Những công ty dầu mỏ thăm dò “vàng lỏng” cách một vài kilomet dưới mặt đất bằng cách cho nổ ở mặt đất, rồi dùng sóng phản hồi từ các sóng địa chấn, họ có thể lập được bản đồ địa chất ngầm. Vấn đề toán học chính ở đây là xây dựng lại bản đồ địa chất từ những tín hiệu nhận được, hơi giống với việc sử dụng các phương trình sóng theo hướng giật lùi. Thay vì giải các phương trình trong một miền đã biết để xem các sóng ra sao, các nhà toán học lại sử dụng các hình mẫu quan sát được của các sóng để tìm lại những đặc điểm địa chất của miền xác định. Những trường hợp làm giật lùi như thế này - tức giải bài toán ngược, theo thuật ngữ chuyên ngành - luôn khó hơn là làm theo cách khác. Một trong những công ty lớn về dầu khí đã thực hiện những tính toán như vậy gần 25.000 lần mỗi ngày.
Khoan tìm dầu mỏ có những vấn đề của riêng nó, giống như biến cố lớn ở giàn khoan Deepwater Horizon, năm 2010, đã cho thấy rõ điều đó. Nhưng ở thời điểm hiện nay, xã hội con người phụ thuộc nặng nề vào dầu mỏ, và sẽ phải mất hàng thập kỷ để giảm thiểu một cách đáng kể sự phụ thuộc này, ngay cả khi tất cả mọi người đều mong muốn như thế. Lần sau khi đổ dầu đầy bình của mình, bạn hãy bót chút thời gian nghĩ về những nhà toán học tiên phong, những người muốn biết tại sao dây đàn violin lại có thể tạo ra âm thanh. Thòi ấy, đó không phải là một vấn đề mang tính thực tiễn, và cho đến bây giờ vẫn thế. Nhưng nếu không có những khám phá của họ, thì ôtô của bạn sẽ không thể đưa bạn đến được đâu cả.
