Phương trình này cho ta biết điều gì?
Nó giúp ta tìm ra tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng phụ thuộc (ví dụ như) thời gian, tính xem giá trị của nó thay đổi thế nào trong một khoảng thời gian ngắn bằng cách chia cho khoảng thời gian đó. Sau đó cho khoảng thời gian đó nhỏ tùy ý.
Tại sao nó lại quan trọng?
Nó cung cấp một cơ sở chặt chẽ cho giải tích, phương pháp chính mà các nhà khoa học dùng để mô tả thế giới tự nhiên.
Nó đã dẫn tới những gì?
Tính toán các tiếp tuyến và diện tích. Các công thức tính thể tích của các khối và độ dài các đường cong. Đinh luật thứ hai của Newton về chuyển động, các phương trình vi phân. Các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng. Hầu hết các địa hạt của vật lý toán.
Năm 1665, nước Anh đang trong triều đại vua Charles II và kinh đô London là một đô thị ngổn ngang với hơn nửa triệu dân. Nghệ thuật nở rộ, và khoa học đang ở những bước phát triển đầu tiên với tốc độ ngày càng nhanh. Hội Hoàng gia, có lẽ là hội khoa học cổ nhất còn tồn tại đến nay, được thành lập 5 năm về trước, và Charles đã ban cho nó một quy chế hoàng gia. Những người giàu có sống trong những ngôi nhà nguy nga, và việc buôn bán của họ ngày càng phát đạt, nhưng những người nghèo khổ phải sống chui rúc trong các con phố chật chội khuất bóng dưới những tòa nhà xiêu vẹo, ngày càng nhô ra do chúng được đôn cao lên, hết tầng này đến tầng khác. Điều kiện vệ sinh cũng không đảm bảo, chuột và các loại sâu bọ khác nhan nhản khắp nơi. Cuối năm 1666, một phần năm dân số London đã chết do dịch hạch, lây lan đầu tiên do chuột và sau đó là do con người. Đó là thảm họa tồi tệ nhất trong lịch sử của kinh đô này, và chính bi kịch đó cũng đã xảy ra khắp châu Âu và Bắc Phi. Nhà vua đã vội vã rời kinh đô tới một vùng quê sạch sẽ hơn ở Oxfordshire, đầu năm 1666 mới quay trở lại. Không ai biết nguyên nhân của tai ương này, và các nhà chức trách của thành phố đã tìm mọi phương cách - đốt lửa liên tục để làm sạch không khí, thiêu cháy tất cả những thứ nặng mùi, chôn cất xác chết nhanh chóng trong các hố. Họ giết rất nhiều chó mèo, nhưng trớ trêu thay họ lại loại bỏ chính hai loài động vật kiểm soát số lượng chuột.
Trong suốt hai năm đó, một sinh viên bí ẩn và khiêm tốn ở đại học Trinity, Cambridge, đã hoàn thành khóa học của mình. Với hy vọng tránh nạn dịch hạch, anh trở về ngôi nhà mình đã sinh ra, nơi mẹ anh đang quản lý một trang trại. Cha anh mất không lâu sau khi anh sinh ra, và anh đã được bà ngoại nuôi nấng. Có lẽ do được truyền cảm hứng từ sự yên bình và tĩnh lặng của thôn quê, hoặc cũng có thể vì không biết dùng thời gian của mình để làm gì tốt hơn, chàng trai trẻ đã đắm mình trong khoa học và toán học. Sau này anh đã ghi lại: “Trong những ngày ấy, tôi đã ở đỉnh điểm của hoạt động sáng tạo trong đời, đã suy tư về toán học và triết học tự nhiên nhiều hơn bất kỳ thời gian nào khác”. Những nghiên cứu đó đã giúp anh hiểu được tầm quan trọng của định luật nghịch đảo bình phương của lực hấp dẫn, một ý tưởng đã bị xem là vô ích trong ít nhất là 50 năm. Anh đã tạo ra một phương pháp thực hành để giải các bài toán về phép tính vi tích phân, một khái niệm khác cũng đã lơ lửng tồn tại nhưng chưa được phát biểu dưới dạng tổng quát nào. Và anh cũng khám phá ra rằng ánh sáng trắng thực tế gồm nhiều màu sắc khác nhau - toàn bộ các màu của cầu vồng.
Khi dịch hạch chấm dứt, anh đã không kể về những khám phá của mình với bất kỳ ai. Trở lại Cambridge, anh nhận bằng thạc sĩ và trở thành nghiên cứu sinh ở Trinity. Rồi được bầu vào ghế giáo sư Lucas về toán, cuối cùng anh đã công bố các ý tưởng của mình và phát triển các ý tưởng mới khác.
Người đàn ông trẻ tuổi đó là Isaac Newton. Những khám phá của ông đã tạo ra một cuộc cách mạng trong khoa học, mang lại một thế giới mà Charles II không bao giờ dám tin là có thể tồn tại: những tòa nhà cao hơn 100 tầng, xe không ngựa kéo đạt vận tốc 80 dặm một giờ, trong khi các tài xế vừa lái vừa nghe nhạc từ một chiếc đĩa thần kỳ làm từ một vật liệu tựa như kính, rồi các máy bay nặng-hơn-không khí vượt biển Atlantic trong sáu giờ, các bức hình màu chuyển động, và các hộp mang theo trong túi dùng để nói chuyện với tận đầu bên kia của thế giới...
Trước đó, Galileo Galilei, Johannes Kepler và các nhà khoa học khác đã lật một góc của tấm thảm tự nhiên, và nhìn thấy một số điều lạ lùng ẩn giấu bên dưới nó. Bây giờ Newton đã nhấc hẳn tấm thảm sang một bên. Ông không những phát lộ ra rằng vũ trụ có những hình mẫu bí mật, đó là các định luật của tự nhiên; mà còn cung cấp các công cụ toán học để diễn tả các định luật ấy một cách chính xác, và rút ra những hệ quả của chúng. Hệ thống thế giới mang tính toán học; cốt lõi sự sáng tạo của Chúa là một vũ trụ đồng hồ không có linh hồn.
Thế giới quan của nhân loại không chuyển đột ngột từ tôn giáo sang thế tục. Nó vẫn chưa và có lẽ sẽ không bao giờ hoàn thiện cả. Nhưng sau khi Newton xuất bản cuốn Những nguyên lý toán học của triết học tự nhiên (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ) thì Hệ thống của thế giới - phụ đề của cuốn sách - không còn là địa hạt riêng của tôn giáo nữa. Dù vậy, Newton vẫn không phải là nhà khoa học hiện đại đầu tiên; ở ông cũng có mặt thần bí riêng, ông đã dành nhiều năm tháng cuộc đời mình cho giả kim thuật và những tư biện về tôn giáo. Trong ghi chú 1 cho một bài giảng, nhà kinh tế học John Maynard Keynes, cũng là một học giả theo trường phái Newton, đã viết:
Newton không phải là người đầu tiên của thời đại lý trí. Ông là vị pháp sư cuối cùng, là người Babylon cuối cùng, là trí tuệ vĩ đại cuối cùng nhìn ra thế giới hữu hình và thế giới tinh thần với cùng con mắt như những người bắt đầu xây dựng di sản tri thức của chúng ta, không ít hơn 10.000 năm trước. Isaac Newton, một đứa trẻ mất cha từ khi mới lọt lòng đúng vào ngày Giáng Sinh năm 1642, là thần đồng cuối cùng mà ba nhà hiền triết đông phương có thể bày tỏ lòng kính trọng chân thành và xứng đáng như họ đã từng kính bái Chúa Hài Đồng.
Ngày nay chúng ta hầu như lờ đi khía cạnh thần bí của con người Newton, và chỉ nhớ đến ông vì những thành tựu trong khoa học và toán học. Đỉnh cao nhất trong số những thành tựu đó là sự nhận thức của ông rằng tự nhiên tuân theo các định luật toán học và việc phát minh ra phép tính vi phân và tích phân của ông, mà ngày nay chúng ta dùng như một công cụ chủ yếu để mô tả các định luật đó và rút ra những hệ quả của chúng. Nhà toán học, triết học người Đức Gottfried Wilhelm Leibniz cũng đã phát triển phép tính vi tích phân, ít nhiều độc lập và gần như đồng thời, nhưng ông đã không đi được xa. Newton đã sử dụng công cụ này để nghiên cứu vũ trụ, mặc dù, trong công trình được công bố của mình, ông đã giấu kín nó dưới một vỏ bọc, bằng cách viết lại dưới ngôn ngữ của hình học cổ điển. Ông là một nhân vật chuyển tiếp, người đã đưa nhân loại bước ra khỏi thế giới quan thần bí, trung cổ để bước vào thế giới quan duy lý, hiện đại. Sau Newton, các nhà khoa học đã nhận thức được rằng vũ trụ có nhiều hình mẫu toán học sâu sắc, và họ đã được trang bị những kỹ thuật mạnh để khai thác nhận thức sâu sắc đó.
Phép tính vi tích phân không xuất hiện một cách đột nhiên. Nó xuất hiện từ các câu hỏi cả trong toán học thuần túy lẫn ứng dụng, và các tiền đề của nó có thể đã bắt nguồn ngay từ thời Archimedes. Bản thân Newton đã có nhận xét nổi tiếng rằng: “Nếu tôi có thể nhìn xa hơn một chút thì đó là vì tôi đứng trên vai những người khổng lồ” 2 . Nổi bật trong số những người khổng lồ ấy là John Wallis, Pierre de Fermat, Galileo, và Kepler. Wallis phát triển một tiền thân của phép tính vi tích phân trong cuốn sách xuất bản năm 1656 của ông nhan đề Số học của vô hạn (Arithmetica Infinitorum ). Cuốn sách xuất bản năm 1679 của Fermat Về tiếp tuyến của các đường cong (De Tangentibus Linearum Curvarum ) đã giới thiệu một phương pháp tìm tiếp tuyến của các đường cong, một vấn đề liên quan mật thiết đến phép tính vi tích phân. Kepler đã phát biểu ba định luật cơ bản của ông về chuyển động của các hành tinh, điều này đã dẫn Newton tới định luật về hấp dẫn, và đó là chủ đề của chương tiếp theo. Galileo đã đạt được những tiến bộ lớn về thiên văn học, nhưng ông cũng nghiên cứu khía cạnh toán học của tự nhiên một cách khá thấu đáo, khi công bố các khám phá của mình trong cuốn Về chuyển động (De Motu ) vào năm 1590. Ông nghiên cứu chuyển động của vật rơi, và phát hiện ra quy luật toán học rất đẹp đẽ. Newton đã phát triển gợi ý này thành ba định luật tổng quát của chuyển động.
Để hiểu được hình mẫu của Galileo chúng ta cần biết hai khái niệm thường gặp hằng ngày của cơ học: vận tốc và gia tốc. Vận tốc là đại lượng cho biết độ nhanh chậm trong chuyển động của một vật và hướng của chuyển động đó. Nếu không quan tâm đến hướng, chúng ta sẽ nhận được tốc độ của vật. Gia tốc là sự thay đổi trong vận tốc, thường liên quan đến sự thay đổi về tốc độ (trừ khi tốc độ vẫn giữ nguyên nhưng hướng thì thay đổi). Trong đời sống hằng ngày, chúng ta dùng gia tốc theo nghĩa làm tăng tốc độ, và giảm tốc theo nghĩa làm chậm lại, nhưng trong cơ học, cả hai sự thay đổi đều gọi là gia tốc: trong trường hợp thứ nhất thì nó dương, còn trường hợp thứ hai thì nó âm. Khi chúng ta lái xe dọc đại lộ, tốc độ của xe được hiển thị trên đồng hồ tốc độ - ví dụ, nó có thể bằng 50mph. hướng thì là hướng đi của xe. Khi chúng ta nhấn ga, xe sẽ tăng tốc; còn khi chúng ta đạp phanh, xe sẽ giảm tốc, tức có gia tốc âm.
Nếu xe chuyển động với một tốc độ cố định, sẽ dễ dàng nhận biết tốc độ của xe là bao nhiêu. Từ viết tắt mph (miles per hour) đã nói rõ: số dặm đi được trong 1 giờ. Nếu xe đi 50 dặm trong 1 giờ, chúng ta chia khoảng cách cho thời gian sẽ nhận được tốc độ. Tất nhiên, chúng ta không cần lái xe cả 1 giờ, nếu chiếc xe đi 5 dặm trong sáu phút, tức cả khoảng cách và thời gian đều được chia cho 10, thì tỉ số của chúng vẫn là 50 dặm/giờ. Nói ngắn gọn:
tốc độ = khoảng cách đi được chia cho thời gian đã đi.
Cũng tương tự, nếu gia tốc là cố định thì ta có:
gia tốc = sự biến thiên của tốc độ chia cho khoảng thời gian thay đổi.
Tất cả xem ra có vẻ như đơn giản, nhưng những khó khăn về khái niệm sẽ phát sinh khi tốc độ hay gia tốc không còn là cố định nữa. Vả lại cả hai không thể đồng thời là hằng số, bởi vì gia tốc không đổi (và khác 0) kéo theo sự thay đổi của tốc độ. Giả sử bạn lái xe dọc theo đường làng, tăng tốc lúc đường thẳng và chậm lại chỗ đường ngoặt. Trong trường hợp ấy, tốc độ của bạn thay đổi và do đó gia tốc cũng thế. Vậy thì làm sao chúng ta có thể biết được chúng bằng bao nhiêu ở một thời điểm bất kỳ cho trước? Câu trả lời có tính thực dụng là: lấy một khoảng thời gian ngắn, một giây, chẳng hạn. Khi đó tốc độ tức thời ở 11h30 sáng (chẳng hạn) sẽ bằng khoảng cách bạn đi được giữa thời điểm đó và một giây sau, chia cho một giây. Thực hiện tương tự với gia tốc tức thời.
Nhưng khoan... đó chưa hẳn là tốc độ tức thời của bạn. Đó thực sự chỉ là tốc độ trung bình trên khoảng thời gian một giây. Có những trường hợp mà một giây là một khoảng thời gian khổng lồ - một dây đàn guitar chơi nốt C trung rung 440 lần mỗi giây; lấy trung bình chuyển động của nó trong cả một giây và bạn sẽ nghĩ rằng nó không hề rung. Câu trả lời ở đây là phải xét một khoảng thời gian ngắn hơn - có lẽ là một phần nghìn của một giây. Nhưng như thế vẫn chưa bắt được tốc độ tức thời. Ánh sáng khả kiến dao động một triệu tỉ (10 15 ) lần trong mỗi giây, do đó khoảng thời gian thích hợp phải nhỏ hơn một phần triệu tỉ giây. Và ngay cả như thế đi nữa... nếu tỉ mỉ hơn thì nó vẫn chưa phải là tức thời . Tiếp tục dòng suy nghĩ này, có vẻ như cần thiết phải sử dụng một khoảng thời gian ngắn hơn bất kỳ khoảng thời gian nào khác. Số duy nhất như thế chỉ có thể là số 0, nhưng thế sẽ chẳng có ích lợi gì, vì khi đó khoảng cách đi được cũng là 0, và 0/0 là vô nghĩa.
Những người tiên phong đã lờ những vấn đề đó đi và chấp nhận quan điểm thực tế. Một khi các sai số có thể trong các phép đo của bạn vượt quá độ chính xác đã được tăng, thì về mặt lý thuyết, bạn sẽ vượt qua được trở ngại này bằng cách sử dụng các khoảng thời gian nhỏ hơn, nhưng làm thế cũng chẳng có ý nghĩa gì. Đồng hồ thời Galileo rất kém chính xác, vì thế ông đo thời gian bằng cách tự mình ngâm nga các âm điệu - một nhạc sĩ được đào tạo bài bản có thể chia một nốt thành các quãng rất ngắn. Ngay cả như thế, việc đo thời gian của một vật rơi tự do cũng rất phức tạp, nên Galileo đã có một ý tưởng rất hay để làm chậm chuyển động lại bằng cách cho viên bi lăn xuống theo mặt phẳng nghiêng. Sau đó ông quan sát các vị trí của viên bi ở các khoảng thời gian liên tiếp. Điều ông tìm thấy (tôi đã đơn giản hóa các con số để các hình mẫu nhìn rõ ràng hơn, nhưng vẫn là các hình mẫu như thế) đó là ở các thòi điểm 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... các vị trí của viên bi là:
0 1 4 9 16 25 36
Nghĩa là các khoảng cách tỉ lệ với bình phương thời gian. Thế còn tốc độ thì sao? Lấy trung bình trên các khoảng thời gian liên tiếp, thì đó là hiệu:
1 3 5 7 9 11
của các bình phương liên tiếp. Trong mỗi khoảng, trừ khoảng đầu tiên, tốc độ trung bình tăng hai đơn vị. Đó là một hình mẫu hay quy luật bất ngờ hơn tất cả đối với Galileo, khi ông đào bói trong hàng tá các phép đo với các viên bi nặng nhẹ khác nhau đặt trên các mặt phẳng có độ nghiêng khác nhau.
Từ các thí nghiệm này và các hình mẫu quan sát được ở trên, Galileo đã suy ra một điều thật tuyệt vòi. Quỹ đạo của một vật rơi tự do, khi được ném lên trong không trung, ví dụ như một viên đạn pháo, là một parabol. Đó là một đường cong hình chữ U, đã được biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại. (Trong trường hợp này là chữ U ngược. Ở đây tôi đã bỏ qua sức cản của không khí làm thay đổi hình dạng của quỹ đạo: nó không ảnh hưởng nhiều đến viên bi lăn của Galileo). Khi phân tích quỹ đạo chuyển động của các hành tinh, Kepler cũng gặp phải một đường cong có liên quan, đó là đường ellip: điều này chắc cũng rất có ý nghĩa đối với Newton, nhưng câu chuyện này phải chờ đến chương sau.
Nếu chỉ tiếp tục các thí nghiệm cụ thể này thì sẽ không thể nhìn thấy các nguyên lý tổng quát ẩn sau các hình mẫu của Galileo. Newton nhận ra rằng nguồn gốc của hình mẫu này là các tốc độ thay đổi hay tốc độ biến thiên. Vận tốc chính là tốc độ thay đổi vị trí theo thời gian, gia tốc là tốc độ thay đổi vận tốc theo thời gian. Trong các quan sát của Galileo, vị trí biến thiên theo bình phương của thời gian, vận tốc thì biến đổi tuyến tính, và gia tốc không thay đổi. Newton nhận ra rằng để có thể hiểu sâu hơn về các hình mẫu của Galileo và những cái mà chúng muốn nói với chúng ta về tự nhiên, thì ông phải nắm bắt bằng được các tốc độ biến thiên tức thòi. Và khi ông làm được điều đó, cũng là khi phép tính vi tích phân ra đời.
Có lẽ bạn đã mong đợi một ý tưởng quan trọng như phép tính vi tích phân sẽ phải được thông báo rầm rộ, với trống dong cờ mở tưng bừng trên đường phố. Tuy nhiên, cần có thời gian để tầm quan trọng của các ý tưởng mới được thấm nhuần và đánh giá thỏa đáng, và phép tính vi tích phân cũng không phải là ngoại lệ. Newton khởi đầu nghiên cứu về đề tài này vào khoảng năm 1671 hoặc sóm hơn khi ông viết cuốn Phương pháp vi phân và chuỗi vô hạn (The Method ofFluxions and Infinite Series ). Chúng ta không biết thời điểm chính xác bởi vì cuốn sách này mãi tới tận năm 1736 mới được xuất bản, tức là gần một thập kỷ sau khi ông mất. Một số bản thảo của Newton cũng có nhắc đến các ý tưởng mà ngày nay chúng ta gọi là phép vi phân và tích phân, hai nhánh chính của lĩnh vực này. Những ghi chép của Leibniz cho thấy ông đã nhận được các kết quả quan trọng đầu tiên về giải tích là vào năm 1675, nhưng ông không công bố gì về chủ đề này cho đến tận năm 1684.
Sau khi Newton trở thành một nhà khoa học xuất chúng, khá lâu sau khi hai người đã xây dựng xong nền tảng của giải tích, một vài người bạn của Newton đã dấy lên một cuộc tranh cãi vô nghĩa nhưng rất nóng bỏng về quyền công bố trước, khi buộc tội Leibniz đã đạo văn từ những bản thảo chưa công bố của Newton. Một số ít nhà toán học ở châu Âu lục địa đã đáp lại bằng lời tố cáo ngược về sự đạo văn của Newton. Các nhà toán học Anh và lục địa hầu như không liên lạc với nhau trong một thế kỷ, điều này đã gây ra thiệt hại lớn cho các nhà toán học Anh, nhưng không có bất kỳ ảnh hưởng nào tới các nhà toán học ở lục địa. Họ đã phát triển giải tích thành một công cụ trung tâm của vật lý toán, trong khi các đồng nghiệp của họ ở Anh cứ sôi sục lên vì những lời lăng mạ Newton thay vì khai thác những viễn kiến sâu sắc của ông. Câu chuyện này rối rắm và vẫn còn được tranh cãi trên phương diện học thuật bởi các sử gia khoa học, nhưng nói một cách khoáng đạt, thì Newton và Leibniz đã phát triển những ý tưởng nền tảng của giải tích một cách độc lập - ít ra cũng độc lập trong chừng mực mà nền văn hóa chung về toán học và khoa học của họ cho phép.
Các ký hiệu của Leibniz khác với của Newton, nhưng các ý tưởng cơ bản thì khá giống nhau. Dù vậy, trực quan nằm đằng sau chúng thì lại khác nhau. Cách tiếp cận của Leibniz hình thức hơn, và thao tác trên các ký hiệu đại số. Còn Newton thì luôn có trong đầu một mô hình vật lý, ở đó hàm số đang xét là một đại lượng vật lý biến thiên theo thời gian. Đó chính là nguồn gốc của thuật ngữ lạ “fluxion” (dòng chảy và sau này cũng được dùng với nghĩa vi phân) - một cái gì đó flow (chảy/ biến thiên) theo thời gian.
Phương pháp của Newton có thể được giải thích bằng ví dụ sau: Một đại lượng y bằng bình phương x 2 của một đại lượng x khác. (Đây là hình mẫu mà Galileo đã tìm ra cho một viên bi lăn: vị trí của nó tỉ lệ với bình phương thời gian trôi qua, do đó ở đây có thể coi y là vị trí và x là thời gian. Ký hiệu thông thường của thời gian là t , nhưng hệ tọa độ chuẩn trong mặt phẳng sử dụng x và y ). đại lượng o bắt đầu được sử dụng, ký hiệu cho một sự thay đổi nhỏ của x . Độ thay đổi tương ứng của y là hiệu
( x + o ) 2 - x 2
hay rút gọn thành 2 xo + o 2 . Tốc độ thay đổi (lấy trung bình trên một khoảng thời gian nhỏ có chiều dài bằng o khi x tăng thành x + o ) do đó bằng:
Nó phụ thuộc vào o , đúng như trông đợi vì chúng ta lấy trung bình tốc độ thay đổi trên một khoảng khác 0. Tuy nhiên, khi o trở nên ngày càng nhỏ hơn, tiến dần (hay “chảy” dần) tới 0, thì tốc độ thay đổi 2 x + o sẽ càng tiến dần tới 2 x . Nó không còn phụ thuộc vào o nữa, và nó cho ta tốc độ thay đổi tức thời của x .
Về cơ bản, Leibniz cũng đã thực hiện những tính toán giống hệt như vậy, chỉ khác là ông thay ký hiệu o bằng ký hiệu d x (có nghĩa là “sự thay đổi nhỏ của x ”), và định nghĩa d y là sự thay đổi nhỏ tương ứng của y . Khi biến y phụ thuộc vào một biến x khác nào đó, tốc độ thay đổi của y đối với x gọi là đạo hàm của y . Newton ký hiệu đạo hàm của y bằng cách thêm dấu chấm ở trên nó: ẏ , còn Leibniz thì dùng ký hiệu
. Với các đạo hàm cấp cao hơn, Newton dùng thêm nhiều dấu chấm hơn, trong khi Leibniz dùng các ký hiệu kiểu như
. Ngày nay, chúng ta gọi y là một hàm số của x và viết y = f(x ), nhưng vào thời điểm đó khái niệm này chỉ tồn tại ở dạng thô sơ. Chúng ta sử dụng cả ký hiệu của Leibniz và cả biến thể ký hiệu của Newton trong đó dấu chấm được thay bằng dấu phẩy, dễ dàng cho in ấn hơn: y’ , y” . Chúng ta cũng viết f’ ( x ) và f” ( x ) để nhấn mạnh rằng, bản thân các đạo hàm cũng là các hàm số. Tính toán các đạo hàm được gọi là phép lấy vi phân.
Phép tính tích phân - vốn là phép tính diện tích - hóa ra lại là phép tính ngược của phép tính vi phân - vốn dùng để tính độ dốc của đường cong. Để thấy tại sao, hãy tưởng tượng rằng chúng ta thêm một lát mỏng vào phần bóng mờ ở hình 12. Lát mỏng này thực ra rất gần với một hình chữ nhật mảnh và dài, với chiều rộng là o và chiều cao là y . Do đó diện tích của nó rất gần với oy . Tốc độ mà diện tích này thay đổi, đối với x là tỉ số oy / o , đúng bằng y . Do đó đạo hàm của diện tích chính là hàm ban đầu. Cả Newton và Leibniz đều hiểu rằng cách tính diện tích, một quá trình gọi là phép tính tích phân, là đảo ngược của phép tính vi phân theo nghĩa này. Leibniz ban đầu ký hiệu tích phân bằng ký hiệu omn., viết tắt của omnia , hay từ “tổng” (“sum”) trong tiếng Latin. Sau này ông đổi thành ký hiệu ∫ một chữ s kéo dài theo lối cổ, cũng là để chỉ từ “sum”. Newton không có một ký hiệu hệ thống nào cho tích phân.
Hình 12 Cộng thêm một lát mỏng vào diện tích bên dưới đường cong y = f ( x ).
Tuy nhiên, Newton đã tạo ra một bước tiến quan trọng. Wallis đã tính được đạo hàm của tất cả các hàm dạng x a : nó bằng ax a-1 . Như vậy, đạo hàm của x 3 , x 4 , x 5 là 3 x 2 , 4 x 3 , 5 x 4 . Ông đã mở rộng kết quả này cho một đa thức bất kỳ, tức một tổ hợp hữu hạn các lũy thừa, ví dụ như 3 x 7 - 25 x 4 + x 2 - 3. Thủ thuật ở đây là xét từng lũy thừa một cách riêng rẽ, tìm các đạo hàm tương ứng, rồi sau đó kết hợp chúng lại theo cùng một cách. Newton thấy rằng phương pháp này cũng có thể áp dụng cho các chuỗi vô hạn, một dạng biểu diễn bao gồm một số vô hạn các lũy thừa của cùng một biến. Điều đó cho phép ông thực hiện các phép tính vi tích phân trên nhiều biểu thức khác, phức tạp hơn các đa thức.
Đưa ra sự đối chiếu sát sao giữa hai phiên bản của phép tính vi tích phân, chỉ khác nhau ở những điểm không quan trọng về ký hiệu, ta có thể dễ dàng hiểu được tại sao lại dấy lên cuộc tranh luận về quyền công bố trước. Tuy nhiên, ý tưởng cơ bản thực ra chỉ là một cách hệ thống hóa khá trực tiếp câu hỏi ẩn sau nó, vì thế dễ thấy tại sao Newton và Leibniz có thể đi đến các phiên bản của mình độc lập với nhau, dù có nhiều nét tương tự. Thực ra, trong mọi trường hợp, với những kết quả của mình, Fermat và Wallis đã vượt trội hơn cả hai người đó. Do đó, cuộc tranh luận này quả là vô nghĩa.
Một cuộc tranh cãi mang lại nhiều thành quả hơn, đó là về vấn đề cấu trúc logic của phép tính vi tích phân, hay nói chính xác hơn là cấu trúc phi logic của nó. Người phê phán mạnh nhất là triết gia người Ailen George Berkeley, giám mục xứ Cloyne. Berkeley có một đề tài thảo luận về tôn giáo; ông cảm thấy rằng quan điểm duy vật về thế giới phát triển từ các công trình của Newton biểu thị Chúa như một đấng sáng tạo tách rời, Ngài lùi ra xa, đứng sau các tạo vật của mình ngay khi sự Sáng thế hoàn tất và sau đó Ngài để mặc cho chúng tự vận hành, một Đức Chúa không mấy giống như Chúa được nhân cách hóa và hằng có ở khắp nơi trong đức tin Kitô. Do đó, ông tấn công tính thiếu nhất quán về mặt logic trong chính những nền tảng của giải tích, với hy vọng làm mất uy tín môn khoa học xây dựng từ đó. Sự công kích của ông không có ảnh hưởng đáng kể tới sự phát triển của vật lý toán, bởi một lý do đơn giản: những kết quả thu được nhờ sử dụng giải tích mang lại cho ta sự hiểu biết sâu sắc hơn rất nhiều về thế giới tự nhiên, và rất phù hợp với thực nghiệm, đến nỗi những nền tảng logic dường như không quan trọng. Ngay cả bây giờ, các nhà vật lý vẫn giữ quan điểm này: nếu một lý thuyết vận hành tốt thì ai còn quan tâm đến việc bắt bẻ logic làm gì nữa?
Berkeley lập luận rằng sẽ chẳng có ý nghĩa logic gì nếu cứ khăng khăng rằng một đại lượng nhỏ (ký hiệu o của Newton, ký hiệu d x của Leibniz) là khác 0 đối với phần lớn việc tính toán, thế mà sau đó lại cho nó bằng 0, trong khi trước đó bạn đã chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho chính đại lượng rất nhỏ đó. Mà chia cho 0 là một phép toán không tồn tại trong số học, bởi vì nó không có một ý nghĩa rõ ràng nào cả. Chẳng hạn, 0 × 1 = 0 × 2, vì cả hai vế đều bằng 0, nhưng nếu ta chia cả hai vế cho 0 ta sẽ được 1 = 2, mà hiển nhiên là điều này không đúng 3 . Berkeley công bố những chỉ trích của ông trong một cuốn sách nhỏ, xuất bản năm 1734, với tựa đề Nhà giải tích, một thuyết trình gửi tái nhà toán học dị giáo (The Analyst, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician ).
Thực tế, Newton đã cố gắng tìm giải pháp cho tính logic, bằng cách cầu viện đến sự tương tự trong vật lý. Ông không nhìn o như một đại lượng cố định, mà như một cái gì đó trôi theo dòng , tức là biến thiên theo thời gian, nó ngày càng tiến gần tới 0 nhưng không bao giờ đạt tới đó. Đạo hàm cũng được định nghĩa bằng một đại lượng trôi theo dòng: đó là tỉ số độ thay đổi của y và độ thay đổi của x . Tỉ số này cũng tiến tới một giá trị nào đó, nhưng không bao giờ đạt tới giá trị ấy, giá trị này chính là tốc độ thay đổi tức thòi - tức đạo hàm của y đối với X. Berkeley đã gạt bỏ ý tưởng đó như là “bóng ma của một đại lượng đã biến mất”.
Leibniz cũng gặp phải những chỉ trích dai dẳng, nhà hình học Bernard Nieuwentijt đã công bố những phê phán của mình vào năm 1694 và 1695. Leibniz đã không biện minh cho phương pháp của mình thông qua các “đại lượng vô cùng bé”, một thuật ngữ dễ gây ra hiểu lầm. Tuy nhiên, ông đã giải thích rằng điều ông muốn nói qua thuật ngữ này là nó không phải là một đại lượng không cố định có thể nhỏ tùy ý (điều này không mang ý nghĩa logic nào cả) mà nó là một đại lượng biến thiên khác 0, có thể trở nên nhỏ tùy ý. Cách biện hộ của Newton và Leibniz về căn bản là như nhau. Đối với các đối thủ của họ, hai cách giải thích này chẳng qua chỉ là sự bịp bợm về ngôn từ mà thôi.
May mắn thay, các nhà vật lý và các nhà toán học thời ấy đã không đợi cho đến khi những nền tảng logic của giải tích được hoàn tất mới áp dụng chúng để mở rộng biên giới khoa học. Họ có một cách khác để đảm bảo rằng họ đang làm những thứ có ý nghĩa: đó là so sánh quan sát với thực nghiệm. Bản thân Newton sáng tạo ra giải tích cũng chính vì mục đích này. Ông rút ra các định luật về chuyển động của các vật dưới tác dụng của một lực, và kết hợp các định luật đó với định luật về một lực cụ thể là lực hấp dẫn để giải thích nhiều điều bí ẩn về các hành tinh và các thiên thể khác của Hệ Mặt Trời. Định luật về hấp dẫn của Newton là một phương trình then chốt trong vật lý và thiên văn học, nó xứng đáng được dành một chương riêng (đó là chương sau). Định luật chuyển động của Newton - nói một cách chặt chẽ là hệ ba định luật, mà một trong số đó chứa hầu hết nội dung toán học - đã dẫn dắt ông một cách trực tiếp tới phép tích vi tích phân hay giải tích toán.
Thật trớ trêu, khi Newton công bố các định luật này và những ứng dụng khoa học của chúng trong cuốn Những nguyên lý (Principia ) của mình, ông đã xóa sạch mọi dấu vết của giải tích và thay thế chúng bởi các lập luận hình học cổ điển. Có lẽ ông nghĩ rằng hình học sẽ dễ được chấp nhận hơn đối với những độc giả mà ông hướng tới, và nếu làm như thế, ông gần như chắc chắn là mình sẽ đúng. Tuy nhiên, nhiều chứng minh hình học của ông, hoặc là được thúc đẩy bởi giải tích, hoặc phụ thuộc vào việc sử dụng các kỹ thuật giải tích để xác định những câu trả lời đúng đắn. Điều này đặc biệt rõ ràng dưới con mắt hiện đại, trong việc xử lý cái mà ông gọi là các “đại lượng phát sinh” thuộc quyển II của bộ Những nguyên lý . Đó là các đại lượng tăng hay giảm theo “chuyển động liên tục hay dòng chảy (flux)”, tức là các fluxion trong cuốn sách chưa xuất bản của ông. Ngày nay, chúng ta gọi chúng là các hàm liên tục (thực ra là khả vi). Thay vì sử dụng các phép tính tường minh của giải tích, Newton đã dùng một phương pháp hình học của các tỉ số “nguyên thủy và tối hậu”. Bổ đề mở của ông (một dạng kết quả toán học phụ trợ được sử dụng lặp đi lặp lại nhưng bản thân nó không có ý nghĩa nội tại), đã tiết lộ tất cả, bởi vì nó định nghĩa sự tương đẳng giữa các đại lượng trôi theo dòng ( flowing ) như sau:
Các đại lượng, và tỉ số của các đại lượng, mà trong bất kỳ khoảng thời gian hữu hạn nào đều hội tụ liên tục về nhau, và trước khi khoảng thời gian đó kết thúc, chúng tiến tới nhau gần hơn bất kỳ một khoảng cách nào cho trước, thì cuối cùng trở thành bằng nhau.
Trong cuốn Không bao giờ ngơi nghỉ (Never at Rest ), người viết tiểu sử Newton là Richard Westfall đã diễn tả bổ đề này là căn bản và mới mẻ như thế nào: “Trong bất kỳ ngôn ngữ nào, khái niệm này... rất hiện đại; hình học cổ điển không hề chứa đựng thứ gì như thế cả” 4 . Những người cùng thòi Newton đã phải nỗ lực rất nhiều để có thể hiểu về cái mà Newton đã tìm ra. Berkeley có lẽ chưa bao giờ làm được, bởi vì - như chúng ta sẽ thấy ngay dưới đây - nó chứa đựng những ý tưởng căn bản cần thiết để bác bỏ sự phản đối của ông ta.
Do vậy, giải tích đã đóng một vai trò có ảnh hưởng to lớn đối với cuốn Những nguyên lý , nhưng nó không một lần xuất hiện trên sân khấu. Mặc dù giải tích chỉ nhìn lén ra từ phía sau cánh gà, những người kế tục về trí tuệ của Newton đã nhanh chóng lần ngược lại quá trình tư duy của ông. Họ viết lại các ý tưởng chính của ông theo ngôn ngữ của giải tích, bởi vì nó cung cấp một khuôn khổ mới tự nhiên hơn và mạnh hơn, và bắt đầu chinh phục thế giới khoa học.
Đầu mối này thực ra đã có thể nhìn thấy trong các định luật về chuyển động của Newton. Câu hỏi đã dẫn Newton tới những định luật này là một câu hỏi triết học: Điều gì khiến cho một vật chuyển động, hay thay đổi trạng thái chuyển động của nó? Câu trả lời cổ điển là câu trả lòi của Aristotle: một vật chuyển động là vì có lực tác dụng lên nó, và điều đó ảnh hưởng tới vận tốc của nó. Aristotle cũng khẳng định rằng để giữ cho một vật chuyển động, phải liên tục tác dụng lực lên nó. Bạn có thể kiểm tra khẳng định của Aristotle bằng cách đặt một quyển sách hay một vật tương tự lên bàn. Nếu bạn đẩy quyển sách, nó sẽ bắt đầu chuyển động và nếu bạn tiếp tục đẩy với một lực có cùng độ lớn thì nó sẽ trượt trên bàn với vận tốc gần như không đổi. Nếu bạn ngừng đẩy, quyển sách sẽ dừng lại. Do vậy, quan điểm của Aristotle có vẻ như phù hợp với thí nghiệm. Tuy nhiên, sự phù hợp này chỉ là bề ngoài mà thôi, bởi vì lực đẩy không phải là lực duy nhất tác dụng lên quyển sách, còn có lực ma sát với bề mặt của bàn nữa. Hơn nữa, quyển sách chuyển động càng nhanh thì ma sát càng lớn - chí ít là trong khi vận tốc của quyển sách vẫn còn đủ nhỏ. Khi quyển sách di chuyển một cách ổn định dọc theo bàn dưới tác dụng của một lực không đổi, thì sức cản ma sát triệt tiêu lực tác dụng ấy, và do vậy tổng tất cả các lực tác dụng lên vật thực tế bằng 0.
Newton, kế thừa các ý tưởng của Galileo và Descartes, đã nhận ra điều này. Kết quả là lý thuyết về chuyển động của ông khác xa với của Aristotle. Ba định luật của Newton như sau:
Định luật thứ nhất . Mọi vật sẽ tiếp tục ở trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều, trừ phi nó bị buộc phải thay đổi trạng thái đó do có lực tác dụng vào.
Định luật thứ hai . Độ thay đổi chuyển động tỉ lệ với lực tác dụng và diễn ra theo hướng tác dụng của lực. (Hằng số tỉ lệ là nghịch đảo khối lượng của vật).
Định luật thứ ba . với mọi lực tác dụng luôn có một phản lực tác dụng với cùng độ lớn nhưng có hướng ngược lại.
Định luật thứ nhất rõ ràng là mâu thuẫn với Aristotle. Định luật thứ ba nói rằng nếu bạn đẩy một vật nào đó, thì nó sẽ đẩy lại. Định luật thứ hai chính là nơi mà phép tính vi tích phân xuất hiện. Cụm từ “độ thay đổi của chuyển động” mà Newton dùng ở đây ý nói tốc độ thay đổi vận tốc của vật, cũng tức là gia tốc của nó. Đó là đạo hàm của vận tốc theo thời gian, và là đạo hàm cấp hai của vị trí. Như vậy, định luật thứ hai của Newton chỉ rõ mối liên hệ giữa vị trí của một vật và các lực tác dụng lên nó, dưới dạng một phương trình vi phân :
đạo hàm cấp hai của vị trí = lực/khối lượng
Để tìm vị trí của vật, ta phải giải phương trình này, tức là suy ra vị trí từ đạo hàm cấp hai của nó.
Dòng suy nghĩ này dẫn ta đến một giải thích đơn giản cho những quan sát của Galileo về viên bi lăn. Điểm mấu chốt ở đây là gia tốc của viên bi là hằng số . Tôi đã chỉ ra điều này ở trên, nhờ sử dụng một cách tính thô nhưng đơn giản áp dụng cho những khoảng thời gian rời rạc; bây giờ, chúng ta có thể tính toán một cách chính xác, khi cho phép thời gian biến thiên liên tục. Hằng số này có liên quan tới lực hấp dẫn và góc của mặt phẳng nghiêng, nhưng ở đây chúng ta không cần đi quá sâu vào chi tiết. Giả sử rằng gia tốc không đổi có giá trị là a . Lấy tích phân hàm số tương ứng, ta nhận được vận tốc đi xuống theo mặt phẳng nghiêng ở thòi điểm t là at + b với b là vận tốc ở thời điểm ban đầu. Lấy tích phân một lần nữa, ta nhận được vị trí trên mặt phẳng nghiêng ở thời điểm t là
với c là vị trí của vật ở thời điểm ban đầu. Trong trường hợp đặc biệt a = 2, b = 0, c = 0, các vị trí của vật hoàn toàn phù hợp với ví dụ đã đơn giản hóa của tôi: vị trí ở thời điểm t là t 2 . Một phép phân tích đơn giản thôi cũng sẽ khôi phục lại được kết quả chủ chốt của Galileo: đường đi của một viên đạn là một parabol.
Các định luật chuyển động của Newton không chỉ cung cấp cho ta cách tính toán chuyển động của các vật, chúng còn dẫn dắt chúng ta đến các nguyên lý sâu sắc và tổng quát của vật lý. Đỉnh cao trong số đó là “các định luật bảo toàn”, cho ta biết rằng khi một hệ chuyển động, dù phức tạp thế nào đi nữa, thì một số đặc trưng của hệ đó là không thay đổi . Trong cảnh rối ren của chuyển động, một vài thứ vẫn bình an, không bị ảnh hưởng gì. Có ba đại lượng được bảo toàn, đó là năng lượng, động lượng và momen động lượng.
Năng lượng có thể được định nghĩa là khả năng sinh công. Khi một vật được đưa lên một độ cao nhất định, để chống lại trọng lực (là hằng số), công phải thực hiện để đưa vật lên đó tỉ lệ với khối lượng của vật, với lực hấp dẫn và với độ cao. Ngược lại, nếu sau đó ta thả vật ra, thì nó sẽ thực hiện đúng công nói trên khi nó rơi từ độ cao ban đầu ấy xuống đất. Loại năng lượng này được gọi là thế năng .
Tự bản thân thế năng không có gì quá hấp dẫn, nhưng có một hệ quả toán học đẹp đẽ của định luật thứ hai của Newton dẫn đến loại năng lượng thứ hai: động năng . Khi một vật chuyển động, cả thế năng và động năng của nó đều thay đổi. Nhưng sự thay đổi của loại này chính là phần bù trừ cho sự thay đổi của loại kia. Khi một vật rơi dưới tác dụng của trọng lực, nó tăng tốc. Định luật của Newton cho phép ta tính được sự thay đổi của vận tốc theo độ cao. Hóa ra, độ giảm của thế năng đúng bằng một phần hai khối lượng vật nhân với bình phương của vận tốc. Nếu chúng ta đặt cho đại lượng này một cái tên - động năng - thì khi đó năng lượng toàn phần, gồm thế năng cộng động năng, được bảo toàn. Hệ quả toán học này của các định luật chuyển động của Newton chứng minh rằng không tồn tại các động cơ vĩnh cửu: không một máy cơ học nào có thể hoạt động liên tục mãi mãi và sinh công mà không phải cấp thêm năng lượng nào từ bên ngoài.
Về mặt vật lý, thế năng và động năng dường như là hai thứ khác nhau; nhưng về phương diện toán học, ta có thể tráo đổi hai thứ này cho nhau. Cứ như là chuyển động của vật bằng một cách nào đó đã chuyển đổi thế năng thành động năng vậy. “Năng lượng”, một thuật ngữ dùng cho cả hai, là một sự trừu tượng hóa thuận tiện, được định nghĩa một cách cẩn trọng sao cho nó được bảo toàn. Tương tự như vậy, các du khách có thể đổi đồng bảng thành đôla. Đổi tiền luôn có các bảng tỉ giá, ví dụ 1 bảng thì ăn 1,4693 đôla. Tất nhiên, ngân hàng cũng khấu trừ một số tiền dành cho họ. Tùy thuộc vào các chi tiết kỹ thuật của phí ngân hàng, tổng giá trị tiền tệ tham gia giao dịch được cho là cân bằng: du khách nhận lại chính xác số lượng đôla tương ứng với tổng số tiền bảng ban đầu của họ, trừ đi một số chi phí nhất định. Tuy nhiên, không có một thực thể vật lý nào được gắn vào tờ giấy bạc mà bằng cách nào đó có thể lấy ra trao đổi một tờ 1 bảng Anh lấy một tờ 1 đôla cùng với vài đồng xu. Cái dùng để trao đổi ở đây chính là sự quy ước của con người rằng những tờ bạc đặc biệt này có giá trị tiền tệ.
Năng lượng là một loại đại lượng “vật lý” mới. Từ quan điểm Newton, các đại lượng như vị trí, thời gian, vận tốc, gia tốc và khối lượng có những biểu hiện vật lý trực tiếp. Bạn có thể đo vị trí nhờ một cái thước, đo thời gian bằng đồng hồ, đo vận tốc và gia tốc bằng cả hai thứ trên, đo khối lượng bằng một cái cân. Nhưng bạn không thể đo năng lượng bằng một năng lượng kế. Đồng ý là bạn có thể đo một số loại năng lượng cụ thể nào đó. Thế năng tỉ lệ với độ cao, do vậy một cái thước là đủ, nếu như bạn đã biết trọng lực. Động năng bằng một nửa khối lượng nhân với bình phương của vận tốc: vậy sử dụng một cái cân và đồng hồ đo tốc độ là đủ. Nhưng năng lượng, như một khái niệm, thì không phải là một thực thể vật lý mà là một thứ hư cấu thuận tiện để cân bằng các cuốn sách cơ học.
Động lượng, đại lượng được bảo toàn thứ hai, là một khái niệm đơn giản: nó bằng khối lượng nhân vận tốc. Nó chỉ nhập cuộc chơi khi có vài ba vật. Một ví dụ quan trọng là tên lửa; ở đây một vật là quả tên lửa và vật kia là nhiên liệu của quả tên lửa ấy. Vì nhiên liệu bị động cơ đẩy ra, nên bảo toàn động lượng ngụ ý rằng tên lửa phải chuyển động theo hướng ngược lại. Đó cũng chính là cách mà tên lửa vận hành trong chân không.
Momen động lượng cũng tương tự, nhưng nó liên quan đến sự quay hơn là vận tốc. Nó cũng đóng vai trò trung tâm trong khoa học về tên lửa, mà thực tế là toàn bộ cơ học, cả ở mặt đất cũng như trên trời. Một trong những câu hỏi khó trả lời nhất về Mặt Trăng, đó là momen động lượng của nó. Lý thuyết hiện tại cho rằng Mặt Trăng bị bắn ra do một hành tinh cỡ sao Hỏa đập vào Trái Đất khoảng 4,5 tỉ năm trước. Điều này giải thích được câu đố về momen động lượng của Mặt Trăng và cho tới tận gần đây hầu như đã được chấp nhận, nhưng bây giờ người ta lại thấy dường như trong đá của Mặt Trăng có chứa rất nhiều nước. Một vụ va chạm mạnh như thế lẽ ra đã phải làm bốc hơi hầu hết lượng nước ấy 5 . Cho dù kết cục thực sự là thế nào đi nữa, thì ở đây momen động lượng cũng có vai trò cực kỳ quan trọng.
Vậy là phép tính vi tích phân đã vận hành. Nó đã giải được các bài toán trong vật lý và hình học, và đưa ra những câu trả lời chính xác. Nó còn dẫn ta tới các khái niệm vật lý mới và cơ bản như năng lượng và động lượng. Nhưng điều đó chưa trả lời được nghi vấn của Giám mục Berkeley. Phép tính vi tích phân cần phải vận hành như toán học, chứ không chỉ phù hợp với vật lý. Newton và Leibniz đều hiểu rằng cả o và d x không thể vừa bằng 0 vừa khác 0 được. Newton mệt mỏi cố thoát ra khỏi cái bẫy logic này bằng cách sử dụng hình ảnh vật lý của dòng chảy (fluxion). Leibniz thì nói về các đại lượng vô cùng bé. Cả hai đều ám chỉ đến các đại lượng tiến dần đến 0 nhưng không bao giờ đạt tới đó, vậy thì chúng là gì? trớ trêu thay, sự chế giễu của Berkeley về “bóng ma của các đại lượng biến mất” lại gần như đã tiến sát tới lời giải của vấn đề này, nhưng cái mà ông đã không tính đến - điều mà cả Newton và Leibniz đều nhấn mạnh - đó là các đại lượng này biến mất bằng cách nào . Làm cho chúng biến mất một cách đúng đắn, là bạn có thể bỏ lại một bóng ma đã được hình thành một cách hoàn hảo. Nếu cả Newton và Leibniz trình bày trực quan của họ theo một ngôn ngữ toán học chặt chẽ, thì có lẽ Berkeley đã hiểu được những kết quả mà họ thu được.
Câu hỏi trọng tâm là một câu hỏi mà Newton đã không trả lòi được một cách rõ ràng vì nó có vẻ rất hiển nhiên. Hãy nhớ lại rằng, trong ví dụ y = x 2 , Newton đã thu được đạo hàm của nó là 2 x + o , và sau đó khẳng định rằng khi o tiến dần về 0 thì 2 x + o tiến về 2 x . Điều này có vẻ hiển nhiên, nhưng chúng ta không thể đặt o = 0 để chứng minh nó. Sự thật là chúng ta đã thu được kết quả chính xác khi làm như thế , nhưng đây là một ngụy biện logic 6 . Trong cuốn Những nguyên lý , Newton đã xoay quanh vấn đề này, ông thay 2 x + o bằng “tỉ số nguyên thủy” của ông và 2 x bằng “tỉ số tối hậu”. Nhưng chìa khóa thực sự để có thể tiến bộ là phải giải quyết vấn đề một cách trực diện. Làm sao chúng ta biết rằng o càng tiến gần về 0 thì 2 x + o càng tiến gần về 2 x ? Điều này nghe ra khá kỳ quặc, nhưng nếu tôi dùng một ví dụ phức tạp hơn thì câu trả lời đúng dường như không hợp lý.
Khi các nhà toán học trở lại với logic của phép tính vi tích phân, họ nhận ra rằng câu hỏi trung tâm có vẻ như đơn giản này lại chính là trái tim của vấn đề. Khi chúng ta nói rằng o tiến gần đến 0, ta hàm ý rằng với bất kỳ số dương khác 0 nào, ta đều có thể chọn được o bé hơn số đó. (Điều này là hiển nhiên: lấy o bằng nửa số đó chẳng hạn). Tương tự, khi ta nói 2 x + o tiến đến 2 x , ta hàm ý rằng hiệu của chúng tiến tới 0, theo nghĩa vừa nói ở trên. Vì hiệu số đó, trong trường hợp này, tình cờ lại chính bằng o , nên nó thậm chí còn hiển nhiên hơn: bất kể “tiến đến 0” mang ý nghĩa gì, thì cũng rõ ràng là o tiến đến 0 khi o tiến đến 0. Một hàm phức tạp hơn hàm bậc hai sẽ đòi hỏi phân tích phức tạp hơn.
Câu trả lời cho câu hỏi then chốt này chính là phải phát biểu các quá trình theo ngôn ngữ hình thức của toán học, và tránh ý tưởng “trôi đi” cùng nhau. bước đột phá này đã xuất hiện thông qua các công trình của nhà toán học và thần học Bohemia Bernard Bolzano và nhà toán học Đức Karl Weierstrass. Công trình của Bolzano xuất hiện năm 1816, nhưng chỉ được đánh giá cao vào năm 1870 khi Weierstrass mở rộng cho cả các hàm phức. Câu trả lời của họ cho Berkeley là khái niệm giới hạn. Tôi sẽ phát biểu định nghĩa của nó bằng lời và bỏ lại cách trình bày bằng ký hiệu ở phần Chú thích cuối sách 7 . Một hàm f ( h ) của biến h tiến tới giới hạn L khi h tiến tới 0 nếu, với bất kỳ số dương cho trước nào, hiệu số giữa f ( h ) và L có thể nhỏ hơn số đó bằng cách chọn giá trị khác 0 đủ nhỏ của h . Viết dưới dạng ký hiệu, ta có:
Ý tưởng trung tâm của giải tích là lấy xấp xỉ độ thay đổi của một hàm trên một khoảng nhỏ h , rồi sau đó lấy giới hạn khi h tiến tới 0. với một hàm tổng quát y = f ( x ), phương pháp này dẫn tới một phương trình mà ta đã dùng để trang trí cho phần mở đầu của chương này, nhưng ở đây sử dụng biến tổng quát x thay vì thời gian:
Trên tử số chúng ta thấy độ thay đổi của hàm f dưới mẫu số là độ thay đổi của x . Phương trình này định nghĩa f’ ( x ) một cách duy nhất, nếu giới hạn tồn tại. Điều này cần phải được chứng minh cho bất kỳ hàm nào được xét đến: giới hạn tồn tại cho hầu hết các hàm thông thường như: bậc hai, bậc ba, các lũy thừa bậc cao hơn, logarit, hàm mũ, và các hàm lượng giác.
Như vậy, trong quá trình tính toán, không có trường hợp nào chúng ta phải chia cho số 0 cả, bởi vì chúng ta không bao giờ đặt h = 0. Hơn nữa, cũng chẳng có gì thực sự trôi đi ở đây. Vấn đề là khoảng giá trị mà h biến thiên, chứ không phải là nó biến thiên như thế nào trong khoảng đó. Do vậy, sự châm biếm của Berkeley là hoàn toàn chính xác. giới hạn L chính là bóng ma của các đại lượng biến mất, tức h của tôi, và o của Newton. Nhưng cách biến mất của các đại lượng này - tiến đến 0, nhưng không đạt tới giá trị ấy - đã dẫn tới một bóng ma được định nghĩa hoàn hảo về mặt ý nghĩa và logic.
Phép tính vi tích phân bây giờ đã có một cơ sở logic vững chắc. Nó xứng đáng, và đã có được, một cái tên phản ánh địa vị mới của mình: giải tích.
Liệt kê tất cả các lĩnh vực mà giải tích có thể được ứng dụng là một nhiệm vụ bất khả thi, chẳng khác nào bắt liệt kê tất cả mọi thứ trên thế giới phụ thuộc vào việc sử dụng một cái vặn đinh ốc. Ở một mức độ tính toán đơn giản, những ứng dụng của giải tích bao gồm việc tính độ dài của đường cong, diện tích của các mặt và các hình dạng phức tạp, thể tích của các hình khối, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và khối tâm của vật. Kết hợp với các định luật của cơ học, giải tích giúp ta tìm ra quỹ đạo của tên lửa không gian, ứng suất trong đá ở một đói hút chìm có thể tạo ra động đất, kiểu dao động của một tòa nhà cao tầng khi xảy ra động đất, một ôtô nảy lên nảy xuống thế nào khi bị xóc, thời gian cần để một vi khuẩn gây bệnh lan truyền, cách thức lành vết thương phẫu thuật, và lực tác dụng lên một cây cầu treo khi có gió mạnh.
Rất nhiều các ứng dụng như thế xuất phát từ cấu trúc sâu sắc của các định luật Newton: chúng là các mô hình của tự nhiên được phát biểu dưới dạng các phương trình vi phân. Đó là những phương trình bao gồm các đạo hàm của một ẩn hàm, và phải dùng các kỹ thuật của giải tích để giải chúng. Tôi sẽ không nói gì thêm ở đây, bởi vì trong tất cả các chương bắt đầu từ chương 8, giải tích đều xuất hiện một cách rõ ràng, chủ yếu dưới dạng các phương trình vi phân. Trường hợp ngoại lệ đơn lẻ là chương 15 nói về lý thuyết thông tin, nhưng ngay cả ở đó, những phát triển khác mà tôi không đề cập đến cũng liên quan đến giải tích. Giống như dụng cụ vặn đinh ốc, giải tích đơn giản là công cụ không thể thay thế trong bộ công cụ của các kỹ sư và nhà khoa học. Hơn bất kỳ một kỹ thuật toán học nào khác, nó đã sáng tạo ra thế giới hiện đại.
