Khi trả lời câu hỏi về tỉ lệ vàng 0.618 trong thực phẩm (topic Bí Quyết Sống Lâu và Sống Khoẻ-forum Y Học Thường Thúc), anh Luanle có viết:
"Trong toán học có nói đến the Golden Ratio 0.618, là tỉ lệ về cấu trúc quân bình của sự vật."
Xin quý vị vui lòng giảng giải cho khái niệm này.
Đa tạ
BTNNS

Số Fibonacci được đặt tên vào thế kỷ 19 nhân nhà toán học Leonardo Fibonacci (1175-1250) mang hệ thống số Ả Rập từ 0-9 sang Âu Châu trong cuốn Liber abaci năm 1202. Năm 1225 ông phổ biến một chuỗi số Ả Rập 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 v.v... mỗi con số kế là tổng số của 2 con số trước nó. Đầu thế kỷ 19, dãy số này được thấy xảy ra trong thiên nhiên - trong sự sắp xếp chồi lá trên thân cây, sừng động vật, gia phả loài ong đực, dạng vòng xoáy trong hoa hướng dương và quả thông.
Tỷ số vàng là gì ?
Trước khi trả lời câu hỏi này, hãy khảo sát một dãy số khá thú vị. Ta bắt đầu với số 1 và 1. Muốn có được con số kế, ta cộng 2 số trước nó với nhau. Như thế 1+1=2. Số kế nữa sẽ là 3. Kế đó bạn nghĩ là số 4? Không đúng! Hãy nhớ lại, số kế phải là 2 số trước đó cộng lại . Vậy số kế phải là 2+3=5. Kế đó, 3+5=8. Dưới đây là một dãy số Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …
Bây giờ chắc các bạn sẽ hỏi :” Dãy số này có gì đặc biệt?” Thưa bạn, sự tương quan của dãy số này với tỷ số vàng không là những con số thành viên trong dãy số ấy mà là tỷ lệ của những con số kế nhau. Hãy nhìn kỹ những tỷ lệ này:
2/1 = 2.0
3/2 = 1.5
5/3 = 1.67
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 = 1.615
34/21 = 1.619
55/34 = 1.618
89/55 = 1.618
Thấy chưa! Nếu ta tiếp tục kéo dài dãy số, tỷ lệ giữa con số hiện có chia cho con số trước nó có vẻ hợp nhất thành một trị số là 1.618. Thương số của 55/34 và 89/55 không bằng nhau nhưng khít khao bằng nhau. Giả dụ ta tiếp tục những con số lớn hơn, thương số của chúng càng gần bằng nhau hơn và cuối cùng con số ấy là 1.618. Con số này chính là tỷ số vàng mà chúng ta đang tìm hiểu.
Tỷ số vàng là một số vô tỷ: nó có vô tận cùng những con số lẻ sau dấu chấm và nó không hề lập lại giống nhau. Lấy 3 số lẻ, ta có 1.618. Một trong những điểm thú vị nữa là tỷ lệ nghịch của nó: 1/1.618 = 0.618. Lạ lùng thay một trị số và nghịch đảo của nó có những con số lẻ giống nhau. Thực ra, ta không thể tìm được một con số nào khác có đặc tính ấy. Điều này sự huyền bí của tỷ lệ vàng thêm huyền bí khiến chúng ta lại có thêm câu hỏi nữa: Điều gì làm chúng trở nên quá đặc biệt như thế?
Đã có những chứng cớ rằng tỷ số vàng có vẻ như con số toàn hảo của thiên nhiên. Ví dụ như cúc đại đoá:



Nhiều kẻ dư thì giờ khám phá rằng những cọng hoa nhỏ trong cúc đại đóa (cả hoa hướng dương nữa) mọc thành 2 xoáy từ trung tâm vươn ra ngoài. Xoáy thứ nhất có 21 hoa nhỏ, xoáy thứ 2 có 34. Con số này chính là con số Fibonacci. Trái thông cũng vậy. Vòng xoáy từ trung tâm có 5 và 8 nhánh. Xem hình dưới đây:



Trái khóm có 3 xoáy là 5, 8 và 13. Lại một bằng chứng những con số này không phải ngẫu nhiên. Thiên nhiên chơi trò toán học với chúng ta? Không ai biết nhưng các khoa học gia suy đoán rằng các loài thực vật mọc theo hình thể xoáy ốc theo những con số Fibonacci vì nó tiết kiệm nhiều bề mặt hơn. Sắp xếp như thế, chúng gia tăng điều kiện tăng trưởng và do đó, nhiều điều kiện sinh tồn hơn.



Quan điểm Meta :

Phàm cái gì có nhiều trùng hợp không thể giải thích, ta có khuynh hướng gán ghép huyền thoại vào cho nó. Cách đây khoảng 15 năm, khi 9 hành tinh trong Thái Dương hệ thẳng hàng với nhau, thiên hạ cũng suy đoán đủ mọi chuyện thần bí. Gần đây hơn, năm 2000 là một con số chẵn tròn, có kẻ nói rằng đó là tận thế.
Sự trùng hợp ngẫu nhiên ít khi xảy ra trong đời sống ngắn ngủi của chúng ta nhưng vạn vật biến hóa vô cùng. Ta không ngạc nhiên khi các phân tử vô cơ thủa tạo thiên lập địa, hợp tan, tan hợp hằng nhiều tỉ lần nhờ chuyển động của nước và gió, để rồi tạo ra một phân tử hữu cơ có khả năng ghi nhớ dạng kết hợp để tự lập lại kết hợp ấy (Meta ám chỉ sự sống và khả năng sinh sản). Cái thần diệu ấy quả là vô tiền khoáng hậu nhưng thiên nhiên có một lợi điểm là thời gian và cơ hội. Hằng tỉ năm tan hợp và hằng tỉ lần tan hợp sẽ tạo ra ngẫu nhiên. Bạn thử lắc bầu cua 1 tỉ lần và 1 tỉ năm xem, thế nào cũng có lần ra 3 con gà.
So sánh thuyết tiến hóa và dãy số Fibonacci, ta thấy có điểm trùng hợp là con số hiện tại là tổng hợp 2 con số trước đó, cũng như sinh vật hiện đại thường là phối hợp những đặc điểm của những sinh vật trước đó. Nói khác đi, dãy số Fibonacci và thuyết sinh vật tiến hóa đặt nền tảng trên sự thừa kế các đặc điểm trước. Nó có lợi cho sự thích nghi môi trường nhưng không phải không có hại.
Chẳng những thiên nhiên mà con người cũng nhái theo thiên nhiên để chế tạo sản phẩm. Xe đời 2005 là phối hợp của xe năm 2003 và năm 2004. Trái cam múi đỏ là sự lai giống giữa bưởi và cam. Đầu máy video năm nay là sự phối hợp những đặc điểm của các đầu máy những năm trước v.v... Nhưng chỉ thế thôi. Nó không phải là quy luật tất yếu về tiến hóa. Nó không giải thích được sự đứt quãng (Non-linearity), sự bất biến, sự đột biến xảy ra trong vũ trụ. Con cá sấu, con voi, cá mập trải qua hàng triệu năm đến nay chẳng hề thay đổi. Chiếc xe Volkwagen nửa thế kỷ trước bây giờ vẫn thế. Các thiên hà cũng xoáy ốc nhưng có những thiên hà hình cầu, hình thập tự và vô định hình. Thậm chí những thiên hà xoắn ốc cũng không theo quy luật Fibonacci là có nhánh chứa 21, 34, 55 ...ngôi sao mà chúng là nhiều tỉ ngôi sao chẳng theo dãy số nào cả. Phải nói tỷ số vàng là một trong những hướng tiến hóa nhưng nó không thể là định luật tiến hóa.
Anh Luanle viết :"Trong toán học có nói đến the Golden Ratio 0.618, là tỉ lệ về cấu trúc quân bình của sự vật." là nói hơi quá. Có rất nhiều hằng số kỳ diệu, Pi chẳng hạn, là tỷ số giữa chu vi và đường kính. Nếu thừa nhận cái bánh xe tròn bằng đá thời thượng cổ mở đầu cho văn minh nhân loại thì con số Pi đã được ứng dụng từ thời đó. Hơn thế nữa, hàng chục tỉ năm trước, khi các thiên thể kết tụ lại, chu vi của khối thiên thể đó chia cho đường kính vẫn là hằng số Pi. Dù thế Pi chỉ là một trong nhiều quy luật thiên nhiên khác. Einstein phá vỡ hằng số Pi trong khái niệm không gian trũng một cách hình học khi có một thiên thể nặng hằn lên cấu trúc 4 chiều của nó. Không gian trũng giống như cái lòng đĩa mà đường kính phải uốn theo lòng đĩa. Lấy chu vi chia cho đường kính uốn cong này, chắc chắn Pi phải nhỏ hơn 3.14.
Tỷ lệ vàng không phải là định luật thiên nhiên. Thiên nhiên tiến hóa theo hướng ấy nhưng cũng tiến hóa theo hướng khác nữa. Đành rằng 1 trong những đặc điểm tiến hóa là nó thừa hưởng mọi thứ của đời trước nhưng như thế nó thừa hưởng cả ưu lẫn khuyết điểm. Nó không thể đối phó với nghiệt ngã của thiên nhiên. Nó không thể tồn tại.
Vạn vật tuân theo nhiều tiến trình khác nhau. Ngoài tiến trình liên tục (linear) như Fibonacci, còn nhiều tiến trình khác như luỹ cấp (sự phân bào, 1 tế bào tự bình phương), tiến trình chu kỳ (sự vận hành quả đất, 4 mùa, động cơ máy nổ v.v...), tiến trình mạng lưới (Tàu có câu :"một cái rung cánh của con bướm ở Chợ Lớn có thể là nguồn gây hạn hán hay lụt lội ở Hoa Thịnh Đốn. Ngạn ngữ này cho thấy các biến động trong thiên nhiên đan mắc với nhau như mạng lưới, chẳng biết đàng nào mà mò) và hiện đại hơn, cơ học lượng tử cho thấy có những sự kiện tự nẩy sinh bất chấp nhân quả.
Fibonacci là một chuỗi số thú vị nhưng nó không tiêu biểu cho luật thiên nhiên mà chỉ là một dạng thức ngoạn mục trong một vũ trụ đa dạng và biến đổi không ngừng.

Viết một lập trình cho ra một chuỗi số Fibonacci:

Đây là thuật toán (algorithm) để viết một lập trình cho ra 100 con số Fibonacci:
previous1 = 0;
previous2 = 1;
current = 0;
Chu trình = 100;

Bắt đầu chu trình:

current = previous1 + previous2;
Show current;
previous1 = previous2;
previous2 = current;

Lập lại chu trình (100 lần)

Metamorph.