"Tiếp theo, thứ ta sắp giảng chính là khái niệm quan trọng nhất mà ta học được từ công việc của phái Hy Môn và phái Ca Đình! Hình thức hóa."

Lời này vừa thốt ra, chân mày của Toán quân lập tức nhíu lại thành một đường rãnh sâu.

Phía sau ông ta, các nhà toán học phái Thiếu Lê gần như phẫn nộ đến cực điểm.

Toán chủ Hy Bách Triệt cả đời có vô số thành tựu. Thế nhưng, quan điểm của ông về bản chất toán học lại bị chỉ trích rất nhiều, đại đa số các nhà toán học khó lòng chấp nhận nổi.

Trong mắt Toán chủ, bản chất của toán học chính là "hình thức". Những ký hiệu đơn lẻ không hề tồn tại bất kỳ ý nghĩa nào. "Hình thức" do các ký hiệu đó sắp xếp mới chính là toán học.

Ví dụ như trong công thức sơ khai "1+1=2", những ký hiệu "1", "+", "=", "2" đều vô nghĩa, chỉ khi cả đẳng thức hoàn chỉnh mới mang ý nghĩa toán học.

Ở phía bên kia, các nhà toán học phái Ca Đình cũng mang tâm trạng phức tạp. Trên mặt họ lộ ra biểu cảm quái dị, đan xen giữa mê mang và phẫn nộ.

Ý niệm "hình thức" bao gồm tính nhất quán, tính đầy đủ, tính quyết định được. Có thể nói đó là lý tưởng và sự theo đuổi lớn nhất cả đời Toán chủ Hy Bách Triệt.

Mà người phủ định lý tưởng này, chính là Vương Kỳ.

Vương Kỳ sử dụng tư duy của Toán chủ để phủ quyết sự theo đuổi của Toán chủ, cũng phủ định luôn thành quả mấy chục năm của phái Ca Đình.

Thế nhưng, những tâm tư phức tạp này không hề ảnh hưởng đến Vương Kỳ.

Vương Kỳ hiểu rõ, thứ cậu đại diện lúc này không phải bản thân cậu, mà là "sự chính xác".

Tự tham chiếu (self-reference) vốn không phải một mô tả toán học, nó thực sự thuộc về logic, nhưng có thuộc về toán học hay không vẫn còn là vấn đề tranh cãi, không phải tất cả nhà toán học đều thừa nhận điểm này. Dù là ở Địa Cầu hay Thần Châu, đều có những dấu hiệu như vậy.

"Mệnh đề này không thể chứng minh" không phải là mệnh đề toán học theo nghĩa hẹp.

Bước thứ hai trong phương pháp chứng minh của Gödel, chính là chuyển đổi mệnh đề phi toán học hoặc mệnh đề chuẩn toán học này thành một mệnh đề toán học.

Địa Cầu gọi đó là "Gödel hóa".

Có lẽ ở Thần Châu, nó sẽ được gọi là "Vương Kỳ hóa" chăng?

"Người bình thường khi hiểu về tính không đầy đủ này, rất dễ rơi vào những màn sương mù của tự tham chiếu, khó lòng thoát ra. Ta đoán, điều này có lẽ liên quan đến phương pháp đường chéo của tiền bối Khang và việc số thứ tự vô hạn vi phạm trực giác bẩm sinh của chúng ta. Cũng chính vì nguyên nhân này, nên hàng nghìn năm qua, các vị tiền bối mới làm ngơ trước đạo lý này."

"Mà muốn giải khai màn sương mù này, bắt buộc phải sử dụng phương pháp hình thức hóa."

Vương Kỳ phóng ra kim quang từ đôi tay, huyễn hóa thành những bức màn ánh sáng trùng điệp, vô số toán phù bay múa trên đó, sắp xếp và liệt kê ra một chứng minh vĩ đại.

Phần thứ hai trong chứng minh định lý không đầy đủ của Gödel, cũng là phần vĩ đại nhất, chính là ở đây.

"Bất kỳ hệ tiên đề nào, các toán phù được sử dụng, các tiên đề có thể tồn tại, đều là hữu hạn. Do đó, những mệnh đề mà các tiên đề và toán phù này có thể liệt kê ra, cũng nhất định là đếm được. Vô hạn đếm được, số Đạo Nguyên bằng không, số lượng của số tự nhiên. Chính là mô tả như vậy."

"Mà những mệnh đề khả thi này, độ dài của chúng cũng tất yếu là đếm được. Và vì còn nằm trong phạm vi vô hạn đếm được, chúng ta có thể dùng số tự nhiên để đánh số cho nó. Mỗi một mã số đều là duy nhất."

"Sau đó, chúng ta có thể thiết lập một tập hợp 'Trung Thiên'. Tập hợp 'Trung Thiên' này chính là bao gồm tất cả các 'mã số' của những mệnh đề có thể tồn tại. Trong một hệ tiên đề, tất cả mệnh đề khả thi đều nhất định nằm trong phạm vi mã số này."

---❊ ❖ ❊---

Khi buổi giảng đạo tiến hành đến đây, nó đã bắt đầu thoát ly khỏi phạm vi mà đại đa số mọi người có thể hiểu được. Cái gì là "vô hạn đếm được", cái gì là "số thứ tự", "số đếm". Những thứ này đều đã vượt quá phạm vi hiểu biết của họ.

Ngay cả những tu sĩ Tiêu Dao đang hiện thân tại hiện trường nghe Vương Kỳ giảng đạo, cũng có vài người lộ ra vẻ mê mang.

Mỗi bước thiếu niên này nói, họ đều có thể hiểu. Thế nhưng, sau khi những thứ này ghép lại với nhau, rốt cuộc có ý nghĩa toán học gì?

Hoàn toàn không hiểu!

Những tu sĩ Kim Pháp đang xem "trực tiếp" thông qua Vạn Tiên Huyễn Cảnh thì càng đau đầu chóng mặt. Chứng minh tưởng chừng đơn giản này dường như chứa đựng ma lực vô tận, như muốn kéo tư duy của họ vào một vực thẳm.

Phùng Lạc Y đành phải thở dài, dùng phương thức "phụ đề" để giải thích cho tất cả các tu sĩ đang xem trực tiếp.

Quá trình số hóa này, nói trắng ra chính là "ánh xạ".

Đem các ký hiệu, biểu thức và chuỗi biểu thức trong hệ thống số học ánh xạ thành số, thông qua việc đưa vào "số Gödel" mà thực hiện thủ tục số hóa đối tượng. Kết quả của việc xử lý như vậy đối với logic toán học và các phân nhánh liên quan khác, đã cung cấp một công cụ kỹ thuật số trong phương pháp nghiên cứu, có thể thuận tiện chuyển đổi các đối tượng thảo luận thành số tự nhiên hoặc hàm số của số tự nhiên, có thể dùng lý thuyết số tự nhiên để thảo luận các vấn đề liên quan.

Chuyển một mệnh đề chuẩn toán học thành một mệnh đề có ý nghĩa toán học.

Đó chính là ý nghĩa của "số hóa" này.

Và khi chứng minh này bước vào giai đoạn sau của phần thứ hai, trong trận doanh phái Ca Đình, Ngải Khắc Man khẽ thở dài: "Đệ quy nguyên thủy à..."

Trong biểu cảm của ông ta chứa đựng sự tiếc nuối và hối hận vô bờ.

Ta cũng từng nghiên cứu lĩnh vực này... Nếu năm đó ta có thể đào sâu hơn một chút, liệu có tránh được kiếp nạn ngày hôm nay không?

Vài tu sĩ phái Ca Đình lập tức gửi tin nhắn riêng: "Ngải huynh, huynh có nghiên cứu về lĩnh vực này? Có thể cản Vương Kỳ một bước ở bước này không?"

Ngải Khắc Man cười khổ lắc đầu. Bước này của Vương Kỳ không hề làm sai. Ông ta có thể nói điều đúng thành sai được sao?

Đồng thời, ông ta cũng hạ quyết tâm, trở về sẽ nghiên cứu kỹ lĩnh vực vốn không được coi trọng này.

Tất nhiên, những người có mặt không hề biết rằng, chứng minh số hóa này còn có ý nghĩa vượt xa bản thân nó.

Nó đồng thời cũng là nguồn gốc của lý thuyết đệ quy.

Mà lý thuyết đệ quy, chính là một trong những phân nhánh quan trọng nhất của logic học hiện đại.

Đến bước này, chứng minh của Vương Kỳ cũng đã đi đến hồi kết.

Vương Kỳ vung tay lần cuối. Các toán phù sắp xếp thành chứng minh của định lý không đầy đủ.

"Đây chính là toàn bộ quá trình."

Toàn trường im lặng như tờ.

Toán học vào khoảnh khắc này đã đi đến cái chết.

"Tính nhất quán và tính đầy đủ không thể có cả hai, toán học không mâu thuẫn thì không đầy đủ..." Nhiều đệ tử Vạn Pháp Môn đang xem trực tiếp gần như bật khóc.

Sau khi Vương Kỳ giảng xong chứng minh định lý không đầy đủ, liền đến ngồi tĩnh tọa ở mép giảng đài một lát. Buổi giảng đạo hôm nay được chia làm bốn phần. Phần trước giảng về định lý không đầy đủ, phần tiếp theo sẽ giảng về định lý không quyết định được.

Sau đó mới là thời gian đặt câu hỏi và tổng kết.

Những tu sĩ Tiêu Dao kia cũng cần một khoảng thời gian để hấp thụ, thấu hiểu những thứ này.

Cậu nhắm mắt dưỡng thần, dường như hoàn toàn không cảm nhận được ác ý mà những đại tu sĩ đỉnh cao xung quanh đang đổ dồn lên người mình.

Dù cho kẻ địch ở khắp nơi thì đã sao? Đây là lĩnh vực của người cầu đạo, chứ không phải nơi đấu pháp. Cho dù ngươi nói đến đâu, cũng không thể đảo ngược đúng sai.

Sau khi nghỉ ngơi ngắn ngủi, Vương Kỳ quay lại trung tâm giảng đài. Những tiếng xì xào bàn tán do quãng nghỉ ngắn ngủi tạo ra cũng dần biến mất. Sự chú ý của vô số tu sĩ tập trung lại vào người Vương Kỳ.

Như từng con rắn độc đang tìm kiếm tử huyệt của con mồi, cố gắng tung đòn chí mạng.

Vương Kỳ tiếp tục giảng đạo: "Sau khi giảng xong 'tính không đầy đủ', chúng ta hãy nói đến 'tính không thể', tức là định lý không quyết định được."

"Phần trước của định lý không quyết định được cũng giống như định lý không đầy đủ, đều là 'tự tham chiếu', ở đây ta sẽ không nhắc lại nữa. Ta sẽ đi thẳng vào phần thứ hai của chứng minh định lý không quyết định được."

"Trước hết, ở đây ta cần cảm ơn Đồ Linh chân nhân, cảm ơn ông ấy đã giúp đỡ ta trong vấn đề này, cũng cảm ơn ông ấy đã cung cấp một phương pháp chứng minh tương đương."

"Đầu tiên, phương pháp chứng minh thứ nhất ta muốn giới thiệu là do chính ta đề xuất, mượn cơ chế của máy tính Đồ Linh nghĩa hẹp... Còn phần thứ hai, Đồ Linh chân nhân gọi là 'Vạn Pháp Vạn Tượng Thức'. Nó được cấu tạo dựa trên định lý không đầy đủ, một thuật toán đầy đủ nhưng không nhất quán."

Đây cũng là phần mà Vương Kỳ và Đồ Linh chân nhân đã bàn bạc từ trước.

Máy tính Đồ Linh nghĩa hẹp và Vạn Pháp Vạn Tượng Thức, tức là máy Turing và thuật toán Lambda, cũng giống như giai đoạn thứ hai của phần sau chứng minh định lý không đầy đủ, đều có tiềm năng vượt xa bản thân chứng minh này. Ở hậu thế, chúng đều phát triển ra những con đường rợp bóng cây.

Đồ Linh chân nhân cũng rất vui mừng khi định lý mà mình không quá coi trọng có thể được truyền bá. Vương Kỳ cũng cần một vài tu sĩ Tiêu Dao bày tỏ sự ủng hộ để bản thân không tỏ ra quá đơn độc, giúp nhiều nhà toán học có thể đi theo mình, khai sáng vùng trời mới cho toán học.

Hai người có thể nói là ăn ý ngay lập tức.

Quá trình chứng minh định lý không quyết định được so với định lý không đầy đủ thì dễ xử lý hơn nhiều. Đặc biệt là phần đầu tiên, chứng minh bằng máy Turing. Câu chuyện này gần như cùng một mạch với "Thẩm quan con rối" và kịch hí "Sát thủ cánh bạc" mà Vương Kỳ từng kể trước đó.

Không ít tu sĩ không thuộc Vạn Pháp Môn, đặc biệt là những môn phái nhỏ lấy "văn nghệ", "tiểu thuyết" làm phương tu luyện, đều nghe rất say sưa. Họ không hiểu lý thuyết của Vương Kỳ, không hiểu ý nghĩa toán học đằng sau lý thuyết đó. Nhưng họ hiểu câu chuyện! Trong đầu họ gần như hiện ra vô số câu chuyện.

Có thể dự đoán, trong một thời gian tới, "người con rối" sẽ trở thành đề tài nóng hổi trong miệng các nghệ nhân kể chuyện.

Còn những đệ tử Vạn Pháp Môn chưa sụp đổ thì lại tỏ ra hứng thú hơn với phương pháp thứ hai.

Bạc Tiếu Phong cả người đều ở trong trạng thái ngơ ngác. "Hệ thống đầy đủ nhưng mâu thuẫn lẫn nhau"? Thứ này thực sự tồn tại sao? Trong đó có ý nghĩa toán học gì chứ?

Bài giảng của Vương Kỳ bắt đầu từ giờ Ngọ, kết thúc vào giờ Dậu. Khi tiếng chuông giờ Dậu vang lên trên vùng đất Thần Châu, buổi giảng đạo này cũng đi đến hồi kết.

"Tổng kết lại, chúng ta có thể đưa ra chứng minh như thế này..." Vương Kỳ hít sâu một hơi, nói ra hai câu cuối cùng.

"Ta nghĩ, chúng ta có thể tự hào tuyên bố rằng câu hỏi thứ hai và thứ mười quan trọng nhất trong hai mươi ba câu hỏi của Hy Môn đã được giải quyết trọn vẹn. Trong nền tảng toán lý, những chứng minh quan trọng nhất về tính nhất quán, tính đầy đủ và tính quyết định được cũng đã hoàn thành."

"Toán học, sắp bước vào một thời đại mới rồi."

Không ai vỗ tay.

Thế nhưng, tất cả mọi người đều cảm thấy một cuộc thay cũ đổi mới, có lẽ thực sự sắp đến rồi...