“Chiều dài là gì? Diện tích là gì? Thể tích là gì?”
Câu hỏi bất ngờ này khiến Áo Lưu ngẩn người một lúc. Hắn không ngờ Vương Kỳ lại hỏi những vấn đề kiểu này. Sau khi suy nghĩ chốc lát, hắn mở miệng nói: “Chiều dài là…”
Lời nói đến bên miệng lại không sao thốt ra được.
Thế nào gọi là dài?
Vấn đề này, e rằng ai cũng biết. Ngay cả đám yêu tộc mới khai linh hay trẻ con, đều có thể ê a khua tay múa chân biểu đạt các khái niệm về độ lớn, độ dài.
Thế nhưng, khái niệm càng đơn giản lại càng khó diễn tả. Bởi lẽ trong lòng đại đa số mọi người, khái niệm “chiều dài” đã đủ cơ bản rồi. Muốn họ dùng những khái niệm cơ bản hơn để mô tả một khái niệm như vậy… thật sự rất khó.
Nhìn dáng vẻ của hắn, Vương Kỳ hơi buồn cười, nhưng vẫn nghiêm túc nói: “Nếu ngươi không trả lời được câu hỏi này, vậy thì đơn giản một chút đi. Chỉ hỏi ngươi, chiều dài là gì?”
Áo Lưu đã không còn nói nổi mấy câu kiểu như “đừng coi thường yêu tộc” nữa.
Hắn suy nghĩ rất nghiêm túc, cuối cùng cẩn trọng đưa ra kết luận: “Là khoảng cách giữa hai điểm…”
“Ha ha.” Vương Kỳ cười khẩy một tiếng.
Áo Lưu bị kích động. Hắn đứng bật dậy, nói: “Đạo lý hiển nhiên như vậy, ai mà không hiểu? Nếu ai cũng hiểu, vậy tại sao phải nghiên cứu nó? Theo ta thấy, đám người tộc các ngươi đã rơi vào chướng ngại chấp niệm rồi, chỉ chăm chăm nhìn vào mảnh đất nhỏ của mình mà không thấy được bầu trời bao la.”
“Hiển nhiên?” Giọng điệu của Vương Kỳ tràn đầy vẻ giễu cợt. Hắn dùng cả tay lẫn chân nhảy xuống bục giảng, lộn một vòng trên không trung rồi đáp xuống trước bàn học của Áo Lưu, chằm chằm nhìn vào mắt hắn. Nụ cười của hắn có chút âm u: “Nhóc con, ta phải nói cho ngươi biết, không có gì là hiển nhiên cả. Cái gọi là ‘hiển nhiên’, chẳng qua chỉ là một loại ảo giác mà bộ não, linh hồn và trí tuệ của ngươi mang lại cho ngươi mà thôi.”
“Tên của loại ảo giác này gọi là ‘ta sinh ra đã biết’, hoặc là ‘ta rất thông minh’, ‘tâm ta gần với Đạo’.”
Vương Kỳ đứng thẳng dậy: “Có lẽ linh trí có được sau khi sinh khiến các ngươi có cảm giác ‘có linh trí mới được sinh ra’. Loại cảm xúc này, chúng ta thật sự không thể thấu hiểu. Đối với nhân tộc chúng ta mà nói, ‘linh tuệ’ thật sự rất bình thường. Cho nên, chúng ta mới cảm thấy linh tuệ thực chất không vĩ đại đến thế, ít nhất là trí tuệ ở tầng thứ như nhân tộc chúng ta không vĩ đại đến thế. Tất cả những gì chúng ta biết, thực chất đều là gông cùm mà trí tuệ tự đặt ra cho chính mình.”
“Chỉ khi nhận rõ chấp niệm mới có thể phá bỏ chấp niệm. Chỉ khi biết được bầu trời nhỏ bé thế nào mới có thể tính toán được sự mênh mông của biển sao.”
Áo Lưu nhíu mày: “Ngồi mà luận đạo sao? Nói thì nghe hay lắm.”
Trong lòng hắn thực ra có chút đắc ý. Cuộc tranh luận về quan điểm và lý niệm này có thể kéo dài rất lâu, cuối cùng có khả năng dẫn đến cục diện ai cũng không thuyết phục được ai. Nếu rơi vào cục diện đó, hắn sẽ có cơ hội xóa bỏ sự lúng túng vừa rồi.
Đáng tiếc, Vương Kỳ sẽ không cho hắn cơ hội đó.
Thế giới chung quy là khách quan. Chân chính là chân, ngụy tạo là ngụy.
Thân hình Vương Kỳ lộn ngược ra sau, như thể sắp ngã xuống đất. Giây tiếp theo, hắn đã đứng vững trên bục giảng. Hắn nói: “Vừa rồi ngươi nhắc đến bộ hình học được chống đỡ bởi ‘bốn điều kiện’, chắc hẳn cũng biết ‘điều kiện thứ năm’ chứ?”
Áo Lưu gật đầu: “Không tuyệt đối.”
“Có thể gọi phương pháp Họa Thiên là ‘điều kiện’, đám Canh Tân Yêu tộc các ngươi cũng có chút trí tuệ. Đáng tiếc thay…” Vương Kỳ lắc đầu, không biết là tiếc cho Canh Tân Yêu tộc không nghiên cứu sâu hơn, hay là tiếc cho một hậu bối nào đó học nghệ không tinh. Hắn nói: “Đã biết công lý mà nhân tộc chúng ta gọi là Họa Thiên này, vậy cũng nên biết định nghĩa về điểm, đường và mặt rồi chứ?”
Áo Lưu gật đầu. Những vấn đề hiển nhiên này, bọn họ quả thực có biết.
“Đường là tổng hòa của vô số điểm, đúng không?”
Áo Lưu lại gật đầu.
Vương Kỳ tiếp tục hỏi: “Vậy các ngươi đã bao giờ nghĩ chưa, điểm không có chiều dài. Hay nói cách khác, chiều dài của điểm là bằng không. Đường do vô số điểm tạo thành, vậy thì đường lấy chiều dài từ đâu ra?”
“Ừm…” Câu hỏi này khiến tất cả học sinh đều ngẩn người.
Bao gồm cả Nguyệt Lạc Lưu Ly và Bạch Huyền Tố Tranh, hai vị Long tộc, tất cả đều ngẩn ra.
Cái này… thật sự chưa từng có ai nghĩ tới!
Vương Kỳ nhìn vẻ mặt của đám học sinh bên dưới, cuối cùng hài lòng gật đầu.
Mấy nhóc con, ta còn trị không được các ngươi sao?
Ta nói cho các ngươi biết, chỗ ta nhìn thì đơn giản, nhưng vấn đề khó chết người thì muốn bao nhiêu có bấy nhiêu.
Câu hỏi Vương Kỳ vừa đặt ra, thực chất chính là một phần quan trọng trong “Lý thuyết độ đo”. Và lời giải của nó, ở Trái Đất được gọi là “Tích phân Lebesgue”. Trong thế giới này, nó là kinh điển của Ly Tông, do Ca Đình Phái hoàn thiện.
Mặc dù đây chỉ là một chú thích nhỏ trong cuộc đời huy hoàng của Toán Chủ, nhưng hầu hết mọi người đều biết, nếu đệ tử Vạn Pháp Môn nào thấu hiểu được điều này, thì việc thăng lên Luyện Hư Kỳ sẽ không gặp bất kỳ trở ngại nào.
Một thiên tài chưa từng tiếp xúc với toán học chủ lưu sẽ mất bao lâu để suy nghĩ thấu đáo vấn đề này?
Grothendieck thời trung học đã mất ba năm.
“Muốn giải thích vấn đề này, phải bắt đầu từ lý thuyết tập hợp trước đã.” Vương Kỳ vừa nói, vừa bắt đầu giảng giải nội dung sơ khai nhất của tập hợp. Tập hợp, phần tử, tập hợp con, hợp, giao, hiệu, v.v.
Những nội dung này đều hướng tới học sinh trung học phổ thông bình thường. Khoảng ba đến năm tiết học, học sinh trung học bình thường ở Trái Đất là có thể nắm vững. Mà đám học sinh hiện tại của Vương Kỳ ít nhất đều là yêu tộc cao giai thời kỳ Hóa Hình, trí nhớ càng mạnh mẽ hơn, hắn chỉ mất một giờ là đảm bảo cho họ nắm được các khái niệm cơ bản về tập hợp đó.
Tất nhiên, cũng chỉ là khái niệm cơ bản mà thôi.
“Tiếp theo, chúng ta có thể đưa vào một số khái niệm phức tạp hơn, ví dụ như ‘vô cùng lớn’. Khái niệm ‘vô cùng lớn’ này cũng rất phức tạp. Ta biết, ngoài toán học ra, khái niệm này cũng được một số người thảo luận. Có lẽ trong số các ngươi có người từng suy nghĩ về vấn đề thế nào gọi là vô cùng lớn. Mà bây giờ, hãy vứt bỏ những định nghĩa huyền hoặc trong đầu các ngươi đi. Trong toán học, vô cùng chỉ có hai loại đã biết. Vô cùng đếm được và vô cùng không đếm được. Tập hợp tất cả các số nguyên được gọi là ‘vô cùng đếm được’. Vô cùng không đếm được lớn hơn vô cùng đếm được, không tồn tại vô cùng nào nhỏ hơn vô cùng đếm được…”
“Tập hợp tất cả các số thực chính là một vô cùng không đếm được. Mà tất cả các tập hợp có cùng lực lượng với ‘tập hợp tất cả các số thực’ được gọi là ‘liên tục’ (continuum).” Nói đến đây, Vương Kỳ cười một tiếng: “Tiện thể nói thêm, trong hệ thống này có một phần không nhỏ là do ta chứng minh. Nói cách khác, đây là thứ ta ngộ ra. Điểm này phải nhấn mạnh một chút.”
Sắc mặt Áo Lưu xanh mét.
“Câu chuyện giữa ta và ‘giả thuyết liên tục’, khi nào rảnh ta sẽ kể cho các ngươi nghe sau. Tóm lại, các ngươi chỉ cần biết khái niệm này là được. Nếu hỏi sự khác biệt giữa ‘vô cùng đếm được’ và ‘vô cùng không đếm được’, thì cứ nói đơn giản thế này: đây có lẽ chính là sự huyền diệu giữa điểm không có độ lớn đến đường và mặt.”
“Bây giờ quay lại chủ đề chính. Những từ như chiều dài, diện tích, thể tích mà chúng ta thường nói, rốt cuộc có nghĩa là gì?” Vương Kỳ chống hai tay lên bục giảng: “Để làm rõ chủ đề này hơn, hãy tập trung ánh mắt vào tình huống một chiều đơn giản nhất, nghĩa là chúng ta chỉ cân nhắc từ ‘chiều dài’. Chúng ta hy vọng, lấy ra một phần trên đường thẳng thì sẽ tồn tại một ‘chiều dài’. Nếu làm được điều này, thì tương tự, những từ như diện tích và thể tích cũng có thể được hiểu theo cách tương tự.”
“Đầu tiên, chúng ta có thể đưa ra định nghĩa như sau. Một đường thẳng, chính là một tập hợp điểm khổng lồ.”
“Mỗi tập hợp con của tập hợp điểm này, bao gồm cả chính nó, đều tồn tại ‘lực lượng’. Lực lượng này chính là một độ đo.”
“Hợp của hai tập hợp con không giao nhau, tức là một tập hợp con khác của tập hợp điểm lớn này, cũng có độ đo và độ đo này phải bằng tổng của hai bên. Nói đơn giản, tổng chiều dài của hai đoạn thẳng không giao nhau, không chồng lấp lên nhau, có thể được coi là tổng chiều dài của từng đoạn.”
“Hơn nữa, tổng độ đo của ba tập hợp con không giao nhau cũng phải bằng độ đo của tập hợp được hợp lại từ ba tập hợp con này, bốn cũng vậy, năm cũng vậy, cứ thế suy ra, tổng độ đo của vô số tập hợp con không giao nhau cũng phải bằng độ đo của tập hợp được hợp lại từ chúng.”
Nói đến đây, Vương Kỳ trịnh trọng nói: “Tiếp theo, chúng ta có thể đưa ra định nghĩa cuối cùng.”
“Một, độ đo tương ứng với tập rỗng là không. Hai, độ đo của tập hợp có được từ việc hợp các tập hợp con không giao nhau lại với nhau, đúng bằng tổng độ đo của từng tập hợp con đó. Ba, nếu coi đường thẳng là trục số thực, thì độ đo tương ứng với đoạn thẳng từ điểm con đến điểm sửu sẽ bằng sửu trừ con.”
Tiếp đó, Vương Kỳ nhắm mắt lại, biểu cảm nghiêm nghị.
“Đây chính là định nghĩa chặt chẽ về cái mà mọi người thường gọi là ‘chiều dài’, và là định nghĩa đúng đắn duy nhất.”
Tất nhiên, câu nói này hơi phóng đại một chút. Độ đo Lebesgue mà Vương Kỳ vừa kể (trong thế giới này nó được gọi là ‘độ đo Ca Đình’), chỉ là một loại trong các độ đo. Thực tế, thế giới này cũng tồn tại các hệ thống độ đo khác. Toán học cũng thừa nhận các độ đo khác biệt với loại độ đo này.
Ví dụ, một loại độ đo khác liên quan đến vật lý học trên Trái Đất, độ đo Dirac (thế giới này cũng gọi là “độ đo Vô Lượng”).
Điều này khiến nhiều nhà toán học tin rằng, thực tế vẫn còn những độ đo mang tính phổ quát hơn, chỉ là con người chưa hiểu đến bước đó mà thôi.
Tuy nhiên, ở giai đoạn hiện tại, từ “chiều dài” đã nhận được định nghĩa nghiêm ngặt, nhận thức của con người về toán học cũng đã đạt đến tầng thứ sâu sắc hơn.
Có một khoảnh khắc, Áo Lưu thực sự bị chấn động. Hắn kinh ngạc trước trí tuệ chặt chẽ này. Nhưng hắn vẫn hỏi: “Điều này có ích gì chứ? Đây chẳng qua chỉ là trò chơi chữ. Trò chơi kiểu này, ta có thể chơi cả ngày…”
“Phải đấy, có ích gì chứ.” Thân hình lóe lên, Vương Kỳ một lần nữa xuất hiện trước mặt Áo Lưu: “Định nghĩa này, vừa hay có thể khiến ngươi nhận thức được sự nhỏ bé của chính mình đấy.”