Phương trình đạo hàm riêng là gì? Nói một cách đơn giản, nếu một phương trình vi phân chỉ chứa hàm ẩn với một biến số độc lập thì đó gọi là phương trình vi phân thường; còn nếu hàm ẩn liên quan đến nhiều biến số, và trong phương trình xuất hiện đạo hàm của hàm ẩn tương ứng với các biến số đó, thì đó chính là phương trình đạo hàm riêng.

Nghiên cứu về đạo hàm riêng bắt đầu từ Euler, nhà toán học năng suất nhất trong lịch sử. Nghe nói vị đại thần này mỗi năm có thể viết tám trăm trang luận văn, tốc độ viết lách này vượt xa cả những tác giả mạng như "Phẫn Nộ Đích Hương Tiêu" hay "Chí Điểu Thôn", mà đó lại còn là những bài luận văn chuyên ngành.

Trong luận văn của mình, ông đã đề xuất phương trình bậc hai về sự dao động của dây đàn. Không lâu sau đó, nhà toán học người Pháp D'Alembert cũng đưa ra phương trình đạo hàm riêng đặc biệt trong tác phẩm "Luận về động lực học" của mình, tuy nhiên những công trình này lúc bấy giờ không nhận được nhiều sự chú ý.

Tiếp đó, các đại thần như Bernoulli và Fourier đã thực hiện nhiều nghiên cứu hơn trong lĩnh vực này, dẫn trực tiếp đến sự ra đời của một nhánh mới là phương trình vật lý toán học. Luận văn nổi tiếng "Lý thuyết giải tích về nhiệt" của Fourier nghe có vẻ là một bài luận vật lý, nhưng thực chất lại trở thành một trong những bài luận kinh điển nhất trong lịch sử toán học.

Sau đó, Green đã thiết lập trường phái vật lý toán học tại Cambridge. Ông đào tạo ra những đại thần như Thomson và Maxwell, những người đã sử dụng đạo hàm riêng như một thanh "đồ long đao" để giải quyết các vấn đề vật lý quan trọng và đạt được những tiến bộ vượt bậc. Phương trình trường điện từ làm chấn động thế giới của Maxwell chính là thắng lợi huy hoàng của trường phái này.

Khi nhắc lại giai đoạn lịch sử này, Einstein đã nói: "Khi phương trình đạo hàm riêng mới bước vào vật lý học, nó chỉ là một cô hầu gái, nhưng giờ đây nó đã trở thành bà chủ!"

Ngày nay, đạo hàm riêng đã trở thành nền tảng để nghiên cứu vật lý và hóa học. Có thể nói nếu không hiểu về nó, bạn gần như không có khả năng đạt được thành tựu nào trong lĩnh vực này.

Một bài luận văn toán học thông thường có thể chia làm bốn phần. Phần thứ nhất là lời mở đầu, tóm tắt sơ lược về nội dung bài viết, sau đó trình bày bối cảnh vấn đề (ví dụ như Lax đã nghiên cứu vấn đề này đến mức độ nào, Terence Tao có quan điểm ra sao, còn những vấn đề gì chưa được giải quyết), rồi cuối cùng là nêu rõ bản thân đã giải quyết được vấn đề gì.

Phần thứ hai là tựa đề, thông thường phần này giới thiệu các công cụ sẽ sử dụng, ví dụ như các định nghĩa, tiên đề.

Phần thứ ba chính là quá trình chứng minh hoặc giải đề, đây là tinh hoa của cả bài luận, yêu cầu phải có trình tự rõ ràng, logic chặt chẽ, tuyệt đối không được xuất hiện bất kỳ lỗ hổng nào.

Phần cuối cùng là giá trị thực tiễn của thành quả đạt được. Phần này có thể viết hoặc không, vì đến giai đoạn này của nghiên cứu toán học, nhiều nhà toán học thực hiện nghiên cứu chỉ vì đam mê, chính họ cũng không rõ những thứ mình tìm ra có tác dụng gì. Nhiều khả năng kết luận của bài luận văn chẳng có ích lợi gì, nhưng quá trình giải đề lại có thể mang đến những bước tiến lớn cho khoa học.

Lữ Khâu Kiến làm theo định dạng này để soạn bài luận thành bản điện tử, sau đó in ra vài bản. Sau nhiều lần do dự, cậu vẫn quyết định ghi tên Giáo sư Gowers vào mục tác giả liên hệ, vì một mặt, bài toán khó mà ông để lại chính là nguyên nhân gốc rễ cho sự ra đời của bài luận này, mặt khác cũng chính ông là người gợi ý cậu viết luận văn.

Sau đó, phần đơn vị công tác của tác giả khiến cậu cảm thấy khá buồn lòng. Theo thông lệ thông thường trong giới học thuật, sinh viên học tại trường nào thì đơn vị công tác phải là trường đó, vì vậy bây giờ cậu chỉ có thể ghi là Princeton thay vì Đại học Kinh Sư như trước.

Phải biết rằng một bài luận trên "Annals of Mathematics" đối với Princeton không là gì cả, nhưng đối với Đại học Kinh Sư hiện tại thì lại là một thành tựu to lớn. Nói ngắn gọn, cậu đã bỏ lỡ một cơ hội để tăng uy tín tại Đại học Kinh Sư. Mặc dù khi trở về trường cậu vẫn sẽ được tuyên dương, nhưng mức độ quảng bá chắc chắn không thể bằng việc đăng dưới danh nghĩa Đại học Kinh Sư.

Thế nhưng, ghi Princeton cũng không phải là không có lợi. Điều này giống như một thiếu hiệp mới xuất giang hồ đi nhờ vả một võ lâm thế gia, danh tiếng của "Ngũ Hổ Đoạn Môn Đao" và danh phận "đệ tử Thiếu Lâm" chắc chắn sẽ nhận được sự đối đãi khác biệt.

Nếu đơn vị tác giả ghi là Đại học Kinh Sư, biên tập viên có lẽ chỉ dành năm phút lướt qua rồi thôi; nhưng nếu là Princeton, biên tập viên chắc chắn sẽ xem xét kỹ lưỡng. Thêm vào đó, với cái tên Giáo sư Gowers ở mục tác giả liên hệ, nếu không có lỗ hổng lớn nào, gần như chắc chắn bài báo sẽ vượt qua vòng sơ duyệt và được gửi đến các chuyên gia phản biện trong lĩnh vực liên quan.

Sau khi rà soát lại cẩn thận một lần cuối và xác định không có vấn đề gì, Lữ Khâu Kiến gửi bài luận có tiêu đề "Một phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng" vào hộp thư của Giáo sư Gowers và Giáo sư Wiles, sau đó in thêm vài bản rồi lên giường đi ngủ.

Hôm sau, Lữ Khâu Kiến mang bài luận đã in đến lớp giao cho Giáo sư Gowers. Giáo sư Gowers nhận lấy rồi cười nói: "Tốc độ nhanh thật, tôi đã nhận được email của em rồi, tiếc là chưa kịp xem. Đợi hai ngày nữa tôi xem xong sẽ trả lời em!"

"Thầy đã viết xong rồi sao?", vừa quay lại chỗ ngồi chưa kịp đặt mông xuống, Ahlfors đã sốt sắng hỏi.

"Đúng vậy!", Lữ Khâu Kiến khẽ đáp, "Hai vị giáo sư đã cho mình không ít chỉ dẫn."

"Vậy bây giờ cậu có thời gian xem giúp mình bài luận không?", Ahlfors nói ra mục đích của mình.

"À, được thôi, cậu gửi vào email cho mình nhé, đợi hai ngày nữa xem xong mình sẽ trả lời cậu!", Lữ Khâu Kiến chuyển lại lời của Giáo sư Gowers cho Ahlfors.

"Yeah!", Ahlfors phấn khích nắm chặt tay.

Sau giờ học, trở về văn phòng, Giáo sư Gowers nhận cốc cà phê từ tay trợ giảng, ngồi trên ghế sô pha, vắt chéo chân bắt đầu đọc bài luận. Rất nhanh, ông đã đắm chìm vào tư duy kỳ diệu trong bài viết, đến mức quên cả uống ly cà phê đen mà mình yêu thích nhất.

"Quy trình suy luận hoàn hảo! À!...", nhìn thấy ký tự cuối cùng, Gowers không nhịn được mà vỗ tay tán thưởng. Tiếc là ông đã giữ tư thế vắt chéo chân quá lâu, đôi chân sớm đã tê dại, cú vỗ tay vừa rồi khiến ông mất thăng bằng và ngã xuống đất, "George! Mau lại đây đỡ tôi một tay!"

Mọi người luống cuống tay chân đỡ Giáo sư Gowers dậy. Ông không kịp chỉnh lại quần áo, trực tiếp gọi điện cho Giáo sư Wiles: "Này, bài luận của Lữ cậu đã xem chưa? ... Tôi cũng nghĩ vậy... Được, vậy tôi sẽ giúp cậu ấy gửi bài... Một lát nữa cậu qua tòa soạn xem kết quả thế nào nhé..."

Nói xong, Giáo sư Gowers quay trở lại bàn làm việc, mở email của mình, tải xuống bài luận của Lữ Khâu Kiến xem lại một lần nữa, lúc này mới gửi bài luận đến địa chỉ nhận bài của "Annals of Mathematics".

Biên tập viên phản biện của "Annals of Mathematics" là Lambert vừa huýt sáo vừa mở máy tính, chuẩn bị bắt đầu một ngày làm việc vất vả. Vừa mở hộp thư ra, anh đã thấy con số email mới lên tới ba chữ số. Anh lắc đầu, pha một ly cà phê rồi mới truy cập vào hộp thư đến để chuẩn bị cho công việc sơ duyệt đầy khó khăn.

Rất nhanh, một địa chỉ email quen thuộc đã thu hút sự chú ý của anh. Ơ kìa, Giáo sư Gowers lại có thành quả nghiên cứu mới sao?