[

Phiêu Thiên Văn Học Giới thiệu sách Kệ sách của tôi Thêm vào kệ sách Thêm bookmark Đề cử cuốn sách này Lưu cuốn sách này

Chọn màu nền:

Chọn cỡ chữ: fontbigbigbigfontbigbigfont1 font2 font3 Phồn thể

Chết trên Sao Hỏa Chương 76: Lời giải thích cuối cùng về vấn đề thay đổi quỹ đạo Sao Hỏa

Quay lại trang sách

Tác giả đã giải thích vấn đề này trong phần tác phẩm liên quan, và liệt kê tại đây một bài báo mã nguồn mở trong số các tài liệu tham khảo có liên quan.

Tích phân dài hạn và tính ổn định của quỹ đạo hành tinh trong Hệ Mặt Trời của chúng ta

Tóm tắt

Chúng tôi trình bày kết quả của các tích phân số cực kỳ dài hạn về chuyển động quỹ đạo hành tinh trong khoảng thời gian 10^9 năm, bao gồm tất cả chín hành tinh. Một cái nhìn nhanh qua dữ liệu số của chúng tôi cho thấy rằng chuyển động của các hành tinh, ít nhất là trong mô hình động lực đơn giản của chúng tôi, dường như khá ổn định ngay cả trong khoảng thời gian rất dài này. Nhìn kỹ hơn vào các dao động tần số thấp nhất bằng bộ lọc thông thấp cho thấy tính chất khuếch tán tiềm tàng của chuyển động hành tinh kiểu Trái Đất, đặc biệt là của Sao Thủy. Hành vi của độ lệch tâm của Sao Thủy trong các tích phân của chúng tôi về mặt định tính tương tự như kết quả từ lý thuyết nhiễu loạn thế tục của Jacques Laskar (ví dụ: e_max 0,35 trong ± 4 tỷ năm). Tuy nhiên, không có sự gia tăng thế tục rõ ràng nào về độ lệch tâm hoặc độ nghiêng trong bất kỳ yếu tố quỹ đạo nào của các hành tinh, điều này có thể được tiết lộ bởi các tích phân số dài hạn hơn nữa. Chúng tôi cũng đã thực hiện một vài tích phân thử nghiệm bao gồm chuyển động của năm hành tinh bên ngoài trong khoảng thời gian ± 5 × 10^10 năm. Kết quả chỉ ra rằng ba cộng hưởng chính trong hệ Sao Hải Vương – Sao Diêm Vương đã được duy trì trong khoảng thời gian 10^11 năm.

1 Giới thiệu

1.1 Định nghĩa vấn đề

Câu hỏi về sự ổn định của Hệ Mặt Trời của chúng ta đã được tranh luận trong vài trăm năm, kể từ thời đại của Newton. Vấn đề này đã thu hút nhiều nhà toán học nổi tiếng qua nhiều năm và đóng vai trò trung tâm trong sự phát triển của động lực học phi tuyến và lý thuyết hỗn loạn. Tuy nhiên, chúng ta vẫn chưa có câu trả lời chắc chắn cho câu hỏi liệu Hệ Mặt Trời của chúng ta có ổn định hay không. Điều này một phần là do thực tế rằng định nghĩa của thuật ngữ 'ổn định' còn mơ hồ khi được sử dụng liên quan đến vấn đề chuyển động hành tinh trong Hệ Mặt Trời. Thực tế, không dễ để đưa ra một định nghĩa rõ ràng, chặt chẽ và có ý nghĩa vật lý về sự ổn định của Hệ Mặt Trời.

Trong số nhiều định nghĩa về sự ổn định, ở đây chúng tôi áp dụng định nghĩa Hill (Gladman 1993): thực ra đây không phải là định nghĩa về sự ổn định, mà là về sự bất ổn. Chúng tôi định nghĩa một hệ thống trở nên bất ổn khi một cuộc chạm trán gần xảy ra ở đâu đó trong hệ thống, bắt đầu từ một cấu hình ban đầu nhất định (Chambers, Wetherill & Boss 1996; Ito & Tanikawa 1999). Một hệ thống được định nghĩa là trải qua một cuộc chạm trán gần khi hai thiên thể tiếp cận nhau trong phạm vi bán kính Hill lớn hơn. Nếu không, hệ thống được định nghĩa là ổn định. Từ nay về sau, chúng tôi tuyên bố rằng hệ hành tinh của chúng ta ổn định về mặt động lực nếu không có cuộc chạm trán gần nào xảy ra trong suốt tuổi thọ của Hệ Mặt Trời, khoảng ±5 tỷ năm. Nhân tiện, định nghĩa này có thể được thay thế bằng một định nghĩa trong đó bất kỳ sự giao cắt quỹ đạo nào giữa một cặp hành tinh xảy ra. Điều này là do chúng ta biết từ kinh nghiệm rằng sự giao cắt quỹ đạo rất có khả năng dẫn đến một cuộc chạm trán gần trong các hệ hành tinh và tiền hành tinh (Yoshinaga, Kokubo & Makino 1999). Tất nhiên, tuyên bố này không thể áp dụng đơn giản cho các hệ thống có cộng hưởng quỹ đạo ổn định như hệ Sao Hải Vương – Sao Diêm Vương.

1.2 Các nghiên cứu trước đây và mục tiêu của nghiên cứu này

Ngoài sự mơ hồ của khái niệm ổn định, các hành tinh trong Hệ Mặt Trời của chúng ta còn thể hiện một đặc tính điển hình của hỗn loạn động lực (Sussman & Wisdom 1988, 1992). Nguyên nhân của hành vi hỗn loạn này hiện nay đã được hiểu một phần là kết quả của sự chồng chéo cộng hưởng (Murray & Holman 1999; Lecar, Franklin & Holman 2001). Tuy nhiên, sẽ cần phải tích phân trên một tập hợp các hệ hành tinh bao gồm tất cả chín hành tinh trong một khoảng thời gian bao phủ vài chục tỷ năm để hiểu thấu đáo sự tiến hóa lâu dài của quỹ đạo hành tinh, vì các hệ động lực hỗn loạn được đặc trưng bởi sự phụ thuộc mạnh mẽ vào các điều kiện ban đầu.

Từ quan điểm đó, nhiều tích phân số dài hạn trước đây chỉ bao gồm năm hành tinh bên ngoài (Sussman & Wisdom 1988; Kinoshita & Nakai 1996). Điều này là do chu kỳ quỹ đạo của các hành tinh bên ngoài dài hơn nhiều so với bốn hành tinh bên trong, do đó việc theo dõi hệ thống trong một khoảng thời gian tích phân nhất định sẽ dễ dàng hơn nhiều. Hiện tại, các tích phân số dài nhất được công bố trên các tạp chí là của Duncan & Lissauer (1998). Mặc dù mục tiêu chính của họ là ảnh hưởng của sự mất khối lượng Mặt Trời sau dãy chính lên sự ổn định của quỹ đạo hành tinh, họ đã thực hiện nhiều tích phân bao phủ tới 10^11 năm chuyển động quỹ đạo của bốn hành tinh kiểu Sao Mộc. Các yếu tố quỹ đạo ban đầu và khối lượng của các hành tinh giống như của Hệ Mặt Trời trong bài báo của Duncan & Lissauer, nhưng họ giảm dần khối lượng của Mặt Trời trong các thí nghiệm số của mình. Điều này là do họ xem xét ảnh hưởng của sự mất khối lượng Mặt Trời sau dãy chính trong bài báo. Do đó, họ phát hiện ra rằng thang thời gian giao cắt quỹ đạo hành tinh, có thể là một chỉ báo điển hình của thang thời gian bất ổn, khá nhạy cảm với tốc độ giảm khối lượng của Mặt Trời. Khi khối lượng của Mặt Trời gần với giá trị hiện tại, các hành tinh kiểu Sao Mộc vẫn ổn định trong 10^10 năm, hoặc có thể lâu hơn. Duncan & Lissauer cũng thực hiện bốn thí nghiệm tương tự về chuyển động quỹ đạo của bảy hành tinh (Sao Kim đến Sao Hải Vương), bao phủ khoảng thời gian 10^9 năm. Các thí nghiệm của họ về bảy hành tinh chưa toàn diện, nhưng có vẻ như các hành tinh kiểu Trái Đất cũng vẫn ổn định trong suốt thời kỳ tích phân, duy trì các dao động gần như đều đặn.

Mặt khác, trong lý thuyết nhiễu loạn thế tục bán giải tích chính xác của mình (Laskar 1988), Laskar nhận thấy rằng các biến thiên lớn và bất thường có thể xuất hiện trong độ lệch tâm và độ nghiêng của các hành tinh kiểu Trái Đất, đặc biệt là của Sao Thủy và Sao Hỏa trên thang thời gian vài tỷ năm (Laskar 1996). Kết quả của lý thuyết nhiễu loạn thế tục của Laskar cần được xác nhận và nghiên cứu bằng các tích phân số đầy đủ.

Trong bài báo này, chúng tôi trình bày kết quả sơ bộ của sáu tích phân số dài hạn trên tất cả chín quỹ đạo hành tinh, bao phủ khoảng thời gian vài tỷ năm, và của hai tích phân khác bao phủ khoảng thời gian ± 5 × 10^10 năm. Tổng thời gian trôi qua cho tất cả các tích phân là hơn 5 năm, sử dụng một số PC và máy trạm chuyên dụng. Một trong những kết luận cơ bản của các tích phân dài hạn của chúng tôi là chuyển động hành tinh trong Hệ Mặt Trời dường như ổn định theo nghĩa ổn định Hill đã đề cập ở trên, ít nhất là trong khoảng thời gian ± 4 tỷ năm. Trên thực tế, trong các tích phân số của chúng tôi, hệ thống ổn định hơn nhiều so với những gì được xác định bởi tiêu chí ổn định Hill: không chỉ không có cuộc chạm trán gần nào xảy ra trong suốt thời kỳ tích phân, mà tất cả các yếu tố quỹ đạo hành tinh cũng bị giới hạn trong một vùng hẹp cả về thời gian và tần số, mặc dù chuyển động của các hành tinh là ngẫu nhiên. Vì mục đích của bài báo này là trình bày và tổng quan về kết quả của các tích phân số dài hạn của chúng tôi, chúng tôi đưa ra các hình ảnh ví dụ điển hình làm bằng chứng cho sự ổn định rất dài hạn của chuyển động hành tinh trong Hệ Mặt Trời. Đối với những độc giả có quan tâm cụ thể và sâu sắc hơn đến kết quả số của chúng tôi, chúng tôi đã chuẩn bị một trang web (truy cập ), nơi chúng tôi hiển thị các yếu tố quỹ đạo thô, kết quả lọc thông thấp của chúng, biến thiên của các yếu tố Delaunay và thâm hụt mô men động lượng, cũng như kết quả phân tích thời gian-tần số đơn giản của chúng tôi trên tất cả các tích phân.

Trong Phần 2, chúng tôi giải thích ngắn gọn về mô hình động lực, phương pháp số và điều kiện ban đầu được sử dụng trong các tích phân của chúng tôi. Phần 3 dành để mô tả các kết quả nhanh chóng của các tích phân số. Sự ổn định rất dài hạn của chuyển động hành tinh trong Hệ Mặt Trời thể hiện rõ ràng cả ở vị trí hành tinh và các yếu tố quỹ đạo. Một ước tính sơ bộ về sai số số cũng được đưa ra. Phần 4 tiếp tục thảo luận về biến thiên dài hạn nhất của quỹ đạo hành tinh bằng cách sử dụng bộ lọc thông thấp và bao gồm thảo luận về thâm hụt mô men động lượng. Trong Phần 5, chúng tôi trình bày một tập hợp các tích phân số cho năm hành tinh bên ngoài trải dài ± 5 × 10^10 năm. Trong Phần 6, chúng tôi cũng thảo luận về sự ổn định lâu dài của chuyển động hành tinh và nguyên nhân có thể của nó.

2 Mô tả các tích phân số

(Phần này liên quan đến các tính toán tích phân khá phức tạp, tác giả sẽ không đăng lên, đăng lên Khởi Điểm cũng chưa chắc hiển thị thành công.)

2.3 Phương pháp số

Chúng tôi sử dụng ánh xạ đối xứng Wisdom–Holman bậc hai làm phương pháp tích phân chính của mình (Wisdom & Holman 1991; Kinoshita, Yoshida & Nakai 1991) với một quy trình khởi động đặc biệt để giảm sai số cắt cụt của các biến góc, 'khởi động nóng' (Saha & Tremaine 1992, 1994).

Bước thời gian cho các tích phân số là 8 ngày trong suốt tất cả các tích phân của chín hành tinh (N±1,2,3), tức là khoảng 1/11 chu kỳ quỹ đạo của hành tinh trong cùng (Sao Thủy). Đối với việc xác định bước thời gian, chúng tôi tuân theo một phần tích phân số trước đây của tất cả chín hành tinh trong Sussman & Wisdom (1988, 7,2 ngày) và Saha & Tremaine (1994, 225/32 ngày). Chúng tôi làm tròn phần thập phân của bước thời gian của họ thành 8 để làm cho bước thời gian là bội số của 2 nhằm giảm sự tích lũy sai số làm tròn trong các quá trình tính toán. Liên quan đến điều này, Wisdom & Holman (1991) đã thực hiện các tích phân số của năm quỹ đạo hành tinh bên ngoài bằng cách sử dụng ánh xạ đối xứng với bước thời gian 400 ngày, bằng 1/10,83 chu kỳ quỹ đạo của Sao Mộc. Kết quả của họ dường như đủ chính xác, điều này phần nào biện minh cho phương pháp xác định bước thời gian của chúng tôi. Tuy nhiên, vì độ lệch tâm của Sao Mộc (0,05) nhỏ hơn nhiều so với của Sao Thủy (0,2), chúng tôi cần một số thận trọng khi so sánh các tích phân này một cách đơn giản về bước thời gian.

Trong tích phân của năm hành tinh bên ngoài (F±), chúng tôi cố định bước thời gian ở 400 ngày.

Chúng tôi áp dụng các hàm f và g của Gauss trong ánh xạ đối xứng cùng với phương pháp Halley bậc ba (Danby 1992) như một bộ giải cho các phương trình Kepler. Số lần lặp tối đa chúng tôi đặt trong phương pháp Halley là 15, nhưng chúng không bao giờ đạt đến mức tối đa trong bất kỳ tích phân nào của chúng tôi.

Khoảng thời gian xuất dữ liệu là 200 000 ngày (547 năm) cho các tính toán của tất cả chín hành tinh (N±1,2,3), và khoảng 8 000 000 ngày (21 903 năm) cho tích phân của năm hành tinh bên ngoài (F±).

Mặc dù không có bộ lọc đầu ra nào được thực hiện khi các tích phân số đang được tiến hành, chúng tôi đã áp dụng bộ lọc thông thấp cho dữ liệu quỹ đạo thô sau khi chúng tôi hoàn thành tất cả các tính toán. Xem Phần 4.1 để biết thêm chi tiết.

2.4 Ước tính sai số

2.4.1 Sai số tương đối trong tổng năng lượng và mô men động lượng

Theo một trong các tính chất cơ bản của bộ tích phân đối xứng, vốn bảo toàn tốt các đại lượng bảo toàn vật lý (tổng năng lượng quỹ đạo và mô men động lượng), các tích phân số dài hạn của chúng tôi dường như đã được thực hiện với sai số rất nhỏ. Sai số tương đối trung bình của tổng năng lượng (10^9) và của tổng mô men động lượng (10^11) hầu như không đổi trong suốt thời kỳ tích phân (Hình 1). Quy trình khởi động đặc biệt, khởi động nóng, sẽ làm giảm sai số tương đối trung bình trong tổng năng lượng khoảng một bậc độ lớn hoặc hơn.

Sai số số tương đối của tổng mô men động lượng δA/A0 và tổng năng lượng δE/E0 trong các tích phân số N± 1,2,3 của chúng tôi, trong đó δE và δA lần lượt là sự thay đổi tuyệt đối của tổng năng lượng và tổng mô men động lượng, và E0 và A0 là các giá trị ban đầu của chúng. Đơn vị trục hoành là tỷ năm.

Lưu ý rằng các hệ điều hành khác nhau, các thư viện toán học khác nhau và các kiến trúc phần cứng khác nhau dẫn đến các sai số số khác nhau, thông qua các biến thể trong xử lý sai số làm tròn và các thuật toán số. Trong bảng trên của Hình 1, chúng ta có thể nhận ra tình huống này trong sai số số thế tục trong tổng mô men động lượng, đáng lẽ phải được bảo toàn một cách chặt chẽ đến độ chính xác máy-ε.

2.4.2 Sai số trong kinh độ hành tinh

Vì các ánh xạ đối xứng bảo toàn tổng năng lượng và tổng mô men động lượng của các hệ động lực N-vật một cách nội tại tốt, mức độ bảo toàn của chúng có thể không phải là thước đo tốt cho độ chính xác của các tích phân số, đặc biệt là như một thước đo sai số vị trí của các hành tinh, tức là sai số trong kinh độ hành tinh. Để ước tính sai số số trong kinh độ hành tinh, chúng tôi đã thực hiện các quy trình sau. Chúng tôi so sánh kết quả của các tích phân dài hạn chính của mình với một số tích phân thử nghiệm, trải dài trong khoảng thời gian ngắn hơn nhiều nhưng có độ chính xác cao hơn nhiều so với các tích phân chính. Với mục đích này, chúng tôi đã thực hiện một tích phân chính xác hơn nhiều với bước thời gian 0,125 ngày (1/64 của các tích phân chính) trải dài 3 × 10^5 năm, bắt đầu với cùng điều kiện ban đầu như trong tích phân N1. Chúng tôi coi tích phân thử nghiệm này cung cấp cho chúng tôi một giải pháp 'giả thực' của sự tiến hóa quỹ đạo hành tinh. Tiếp theo, chúng tôi so sánh tích phân thử nghiệm với tích phân chính, N1. Trong khoảng thời gian 3 × 10^5 năm, chúng tôi thấy sự khác biệt trong dị thường trung bình của Trái Đất giữa hai tích phân là 0,52° (trong trường hợp tích phân N1). Sự khác biệt này có thể được ngoại suy thành giá trị 8700°, khoảng 25 vòng quay của Trái Đất sau 5 tỷ năm, vì sai số của kinh độ tăng tuyến tính theo thời gian trong ánh xạ đối xứng. Tương tự, sai số kinh độ của Sao Diêm Vương có thể được ước tính là 12°. Giá trị này đối với Sao Diêm Vương tốt hơn nhiều so với kết quả trong Kinoshita & Nakai (1996) nơi sự khác biệt được ước tính là 60°.

3 Kết quả số – I. Nhìn lướt qua dữ liệu thô

Trong phần này, chúng tôi xem xét ngắn gọn sự ổn định lâu dài của chuyển động quỹ đạo hành tinh thông qua một số ảnh chụp nhanh của dữ liệu số thô. Chuyển động quỹ đạo của các hành tinh chỉ ra sự ổn định lâu dài trong tất cả các tích phân số của chúng tôi: không có sự giao cắt quỹ đạo hay chạm trán gần nào giữa bất kỳ cặp hành tinh nào xảy ra.

3.1 Mô tả chung về sự ổn định của quỹ đạo hành tinh

Đầu tiên, chúng tôi xem xét ngắn gọn đặc tính chung của sự ổn định lâu dài của quỹ đạo hành tinh. Mối quan tâm của chúng tôi ở đây tập trung đặc biệt vào bốn hành tinh kiểu Trái Đất bên trong, có thang thời gian quỹ đạo ngắn hơn nhiều so với năm hành tinh bên ngoài. Như chúng ta có thể thấy rõ từ các cấu hình quỹ đạo phẳng được hiển thị trong Hình 2 và 3, vị trí quỹ đạo của các hành tinh kiểu Trái Đất khác nhau rất ít giữa phần đầu và phần cuối của mỗi tích phân số, trải dài vài tỷ năm. Các đường liền nét biểu thị quỹ đạo hiện tại của các hành tinh hầu như nằm trong đám chấm ngay cả trong phần cuối của các tích phân (b) và (d). Điều này chỉ ra rằng trong suốt toàn bộ thời kỳ tích phân, các biến thiên gần như đều đặn của chuyển động quỹ đạo hành tinh vẫn gần như giống như hiện tại.

Hình chiếu thẳng đứng của bốn quỹ đạo hành tinh bên trong (từ hướng trục z) tại phần đầu và phần cuối của các tích phân N±1. Đơn vị trục là au. Mặt phẳng xy được đặt thành mặt phẳng bất biến của tổng mô men động lượng Hệ Mặt Trời. (a) Phần đầu của N+1 (t = 0 đến 0,0547 × 10^9 năm). (b) Phần cuối của N+1 (t = 4,9339 × 10^8 đến 4,9886 × 10^9 năm). (c) Phần đầu của N1 (t= 0 đến 0,0547 × 10^9 năm). (d) Phần cuối của N1 (t = 3,9180 × 10^9 đến 3,9727 × 10^9 năm). Trong mỗi bảng, tổng cộng 23 684 điểm được vẽ với khoảng cách khoảng 2190 năm trong 5,47 × 10^7 năm. Các đường liền nét trong mỗi bảng biểu thị quỹ đạo hiện tại của bốn hành tinh kiểu Trái Đất (lấy từ DE245).

Sự biến thiên của độ lệch tâm và độ nghiêng quỹ đạo cho bốn hành tinh bên trong trong phần đầu và phần cuối của tích phân N+1 được hiển thị trong Hình 4. Như dự kiến, đặc tính của sự biến thiên các yếu tố quỹ đạo hành tinh không khác biệt đáng kể giữa phần đầu và phần cuối của mỗi tích phân, ít nhất là đối với Sao Kim, Trái Đất và Sao Hỏa. Các yếu tố của Sao Thủy, đặc biệt là độ lệch tâm của nó, dường như thay đổi đến một mức độ đáng kể. Điều này một phần là do thang thời gian quỹ đạo của hành tinh này là ngắn nhất trong tất cả các hành tinh, dẫn đến sự tiến hóa quỹ đạo nhanh hơn các hành tinh khác; hành tinh trong cùng có thể là gần nhất với sự bất ổn. Kết quả này dường như phù hợp ở một mức độ nào đó với kỳ vọng của Laskar (1994, 1996) rằng các biến thiên lớn và bất thường xuất hiện trong độ lệch tâm và độ nghiêng của Sao Thủy trên thang thời gian vài tỷ năm. Tuy nhiên, ảnh hưởng của sự bất ổn tiềm tàng của quỹ đạo Sao Thủy có thể không ảnh hưởng nghiêm trọng đến sự ổn định toàn cầu của toàn bộ hệ hành tinh do khối lượng nhỏ của Sao Thủy. Chúng tôi sẽ đề cập ngắn gọn về sự tiến hóa quỹ đạo dài hạn của Sao Thủy sau đó trong Phần 4 bằng cách sử dụng các yếu tố quỹ đạo đã qua lọc thông thấp.

Chuyển động quỹ đạo của năm hành tinh bên ngoài dường như ổn định một cách chặt chẽ và khá đều đặn trong khoảng thời gian này (xem thêm Phần 5).

3.2 Bản đồ thời gian-tần số

Mặc dù chuyển động hành tinh thể hiện sự ổn định rất dài hạn được định nghĩa là không có sự kiện chạm trán gần, bản chất hỗn loạn của động lực học hành tinh có thể thay đổi dần dần chu kỳ dao động và biên độ của chuyển động quỹ đạo hành tinh trong những khoảng thời gian dài như vậy. Ngay cả những biến động nhỏ như vậy của biến thiên quỹ đạo trong miền tần số, đặc biệt là trong trường hợp của Trái Đất, có khả năng có ảnh hưởng đáng kể đến hệ thống khí hậu bề mặt của nó thông qua sự biến thiên bức xạ Mặt Trời (x. Berger 1988).

Để đưa ra một cái nhìn tổng quan về sự thay đổi lâu dài trong tính chu kỳ của chuyển động quỹ đạo hành tinh, chúng tôi đã thực hiện nhiều phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) dọc theo trục thời gian và chồng các biểu đồ chu kỳ kết quả để vẽ các bản đồ thời gian-tần số hai chiều. Cách tiếp cận cụ thể để vẽ các bản đồ thời gian-tần số này trong bài báo này rất đơn giản – đơn giản hơn nhiều so với phân tích wavelet hoặc phân tích tần số của Laskar (1990, 1993).

Chia dữ liệu quỹ đạo đã qua lọc thông thấp thành nhiều đoạn có cùng độ dài. Độ dài của mỗi đoạn dữ liệu phải là bội số của 2 để áp dụng FFT.

Mỗi đoạn dữ liệu có một phần chồng lấn lớn: ví dụ, khi đoạn dữ liệu thứ i bắt đầu từ t=ti và kết thúc tại t=ti+T, đoạn dữ liệu tiếp theo nằm trong khoảng từ ti+δT≤ti+δT+T, trong đó δT?T. Chúng tôi tiếp tục sự phân chia này cho đến khi đạt đến một số N nhất định mà tại đó tn+T đạt đến tổng độ dài tích phân.

Chúng tôi áp dụng FFT cho mỗi đoạn dữ liệu và thu được n biểu đồ tần số.

Trong mỗi biểu đồ tần số thu được ở trên, cường độ của tính chu kỳ có thể được thay thế bằng một biểu đồ thang độ xám (hoặc màu sắc).

Chúng tôi thực hiện việc thay thế và kết nối tất cả các biểu đồ thang độ xám (hoặc màu sắc) thành một đồ thị cho mỗi tích phân. Trục hoành của các đồ thị mới này phải là thời gian, tức là thời điểm bắt đầu của mỗi đoạn dữ liệu (ti, trong đó i= 1,…, n). Trục tung biểu thị chu kỳ (hoặc tần số) của dao động của các yếu tố quỹ đạo.

Chúng tôi đã áp dụng FFT vì tốc độ vượt trội của nó, vì lượng dữ liệu số cần được phân tích thành các thành phần tần số là cực kỳ lớn (vài chục Gbyte).

Một ví dụ điển hình về bản đồ thời gian-tần số được tạo ra bởi các quy trình trên được hiển thị trong biểu đồ thang độ xám như Hình 5, cho thấy sự biến thiên của tính chu kỳ trong độ lệch tâm và độ nghiêng của Trái Đất trong tích phân N+2. Trong Hình 5, vùng tối cho thấy tại thời điểm được chỉ ra bởi giá trị trên trục hoành, tính chu kỳ được chỉ ra bởi trục tung mạnh hơn so với vùng sáng hơn xung quanh nó. Chúng ta có thể nhận ra từ bản đồ này rằng tính chu kỳ của độ lệch tâm và độ nghiêng của Trái Đất chỉ thay đổi nhẹ trong suốt toàn bộ khoảng thời gian được bao phủ bởi tích phân N+2. Xu hướng gần như đều đặn này về mặt định tính là giống nhau trong các tích phân khác và đối với các hành tinh khác, mặc dù các tần số điển hình khác nhau giữa các hành tinh và giữa các y